求二次函数解析式的三种基本方法。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).
2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h.
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。
例1、已知二次函数的图象经过点(-1,-5)、(0,-4)和(1,1)．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0).
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则。
依题意得解这个方程组得：
这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4 .
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1)，与轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1)，最好抛开题目给出的y=ax2+bx+c，重新设顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0),则。
抛物线与轴交于点(0,3)
a(0－4)2－1=3 ∴a=
这个二次函数的解析式为y= (x－4)2－1，即y=x2－2x+3 .
例3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点a(－8，0），（2，0），与y轴交于点c(0,4),求这条抛物线的解析式。
分析：a、b两点是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2),则。
抛物线与轴交于点c(0,4)
a(0+8)(0－2)=4 ∴a=
这个二次函数的解析式为y= (x+8)(x－2)，即y=x2－x+4 .
练习：1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．
求该函数解析式．
2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3 .
求这个抛物线的解析式．
3. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这名男同学出手处a点的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处b点的坐标为(6,5).
求这个二次函数的解析式；
该同学把铅球推出多远？(精确到0.01米，)
4. 如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位ab时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位cd，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
6. 已知抛物线y=x2－2x+m与x轴有两个不同的交点a、b，其坐标为a(x1,0),b(x2,0)，其中x1⑴ 求这条抛物线的解析式；
设所求抛物线顶点为c，p是此抛物线上的一点，且∠pac=90°，求p点的坐标。
7. 如图所示，△oab是边长为2的等边三角形，过点a的直线y＝x＋m与x轴交于点e．
1) 求点e的坐标；
2) 求过a、o、e三点的抛物线的解析式．
8.如图所示，在平面直角坐标系中，ob⊥oa，且ob＝2oa，点a的坐标是(－1，2)．
1) 求点b的坐标；
2) 求过点a，o，b的抛物线的表达式．
9. 如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过a(1，0)，b(0，2)两点，顶点为d．
1) 求抛物线的解析式；
2) 将△oab绕点a顺时针旋转90°后，点b落到点c的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点c，求平移后所得图象的函数关系式．
10. 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过a(－1，0)，c(0，4)两点，与x轴交于另一点b．
1) 求抛物线的解析式；
2) 已知点d(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点d关于直线bc对称的点的坐标．