(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·皖南八校联考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
a．e1在e2方向上的投影为cosθ
b．e＝ec．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
d．e1·e2＝1
解析：e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，故d不成立．
答案：d2．已知sin(π－2sin(＋α则sinα·cosα＝(
ab．－c.或d．－
解析：由于sin(π－2sin(＋αsinα＝－2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，则sinαcosα＝－2cos2α＝－
答案：b3．对于任何α，β0，)，sin(α＋与sinα＋sinβ的大小关系是( )
a．sin(α＋sinα＋sinβ
b．sin(α＋c．sin(α＋sinα＋sinβ
d. 要以α，β的具体值而定。
解析：sin(α＋sinαcosβ＋cosαsinβ，0答案：b
4．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈r)，则f(x)是( )
a．最小正周期为π的偶函数。
b．最小正周期为π的奇函数。
c．最小正周期为2π的偶函数。
d．最小正周期为的奇函数。
解析：∵f(x)＝sin2x－2sin2xsin2x＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，∴f(x)是最小正周期为的奇函数．
答案：d5．函数y＝sin在区间[0,2π]上的单调递减区间是( )
ab. cd.，解析：由于y＝sin＝－sin，当x∈或时，x－∈或，此时y＝sin单调递增，故y＝－sin递减．
答案：d6．已知a＋b＋c＝0，且cos〈a，b〉＝，c|＝|a|，则a与c的夹角等于( )
a．30b．60°
c．120d．150°
解析：将向量a，b，c首尾相接构成三角形，即bc―→＝a，ca―→＝b，ab―→＝c，则∠acb＝120°，又|c|＝|a|，根据正弦定理，解得∠cab＝30°，故∠abc＝30°，所以a，c的夹角是150°.
答案：d7．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )
a．(－0b．(－0)
c．(，0d．(0,0)
解析：f(x)＝2sin(ax＋)(a>0)，∵t＝＝1，∴a＝2π.∴f(x)＝2sin(2πx＋)，由2πx＋＝kπ，k∈z，得x＝－，k∈z，当k＝1时，x＝，故(，0)是其图像的一个对称中心．
答案：c8．[理]要得到函数f(x)＝sin的导函数f′(x)的图像，只需将f(x)的图像( )
a．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
b．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
c．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
d．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
解析：由于f′(x)＝2cos，又由于f(x)＝sin＝cos，将其图像向左平移个单位后得y＝cos，然后将各点的纵坐标伸长到原来的2倍即得f′(x)＝2cos的图像．
答案：c文]已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝cos2x－sin2x的图像，只需将函数y＝f(x)的图像( )
a．向左平移个单位长度b．向右平移个单位长度。
c．向左平移个单位长度d．向右平移个单位长度。
解析：f(x)＝cosxsinx＋sinxcosx＝sin2x，而函数y＝cos2x－sin2x＝cos2x＝sin，由f(x)向左移个单位可得到．
答案：c9．在梯形abcd中，ab∥cd，且|ab|＝λdc|，设＝a，＝b，则＝(
a．λa＋bb．a＋λb
c. a＋bd．a＋b
解析：＝＋b＋＝b＋a.故选c.
答案：c10．如图，在△abc中，d是边ac上的点，且ab＝ad,2ab＝bd，bc＝2bd，则sinc的值为( )
ab. cd.
解析：设ab＝c，则ad＝c，bd＝，bc＝，在△abd中，由余弦定理得cosa＝＝，则sina＝.
在△abc中，由正弦定理得＝＝，解得sinc＝.
答案：d11．已知函数y＝asin(ωx＋φ)m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是( )
a．y＝4sinb．y＝2sin＋2
c．y＝2sin＋2d．y＝2sin＋2
解析：据函数的最值可得a＝m＝2，又由周期可得＝，解得ω＝4，故f(x)＝2sin(4x＋φ)2，又直线x＝是函数图像的一条对称轴，代入b，d选项，根据对称轴的意义(使函数取得最值)验证易得d选项满足条件．
答案：d12．(2011·天津高考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)x∈r，其中ω＞0，－π若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
a．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数。
b．f(x)在区间[－3π，－上是增函数。
c．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数。
d．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数。
解析：∵f(x)的最小正周期为6π，∴当x＝时，f(x)有最大值，∴×2kπ(k∈z)，φ2k
f(x)＝2sin(＋)由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
答案：a二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k
解析：∵a＋b与ka－b垂直，(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.
答案：114．(2011·惠州模拟)方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tana，tanb，且a，b∈(－则a＋b
解析：由根与系数的关系tana＋tanb＝－3a，tanatanb＝3a＋1，则tan(a＋b)＝＝1.
又a，b∈(－a＋b∈(－tana＋tanb＝－3a<0，tanatanb＝3a＋1>0，所以tana<0，tanb<0，a∈(－0)，b∈(－0)，a＋b∈(－0)，所以a＋b＝－.
答案：－15．若将函数y＝tan(ωx＋)(0)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图像重合，则ω的最小值为___
解析：由已知tan[ω(x－)＋
tan(ωx－π＋
tan(ωx＋)，得－π＝kπ＋(k∈z)，ω6k＋(k∈z)．
ω>0，∴当k＝0时，ω的最小值为。
答案：16．在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论。
△abc的边长可以组成等差数列；
若b＋c＝8，则△abc的面积是。
其中正确的结论序号是___
解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，a∶b∶c＝7∶5∶3，则2b＝a＋c，得△abc的边长可以组成等差数列，即命题①正确；
设a＝7k，b＝5k，c＝3k，则cosa＝＝－0，得角a＝为钝角，·<0，即命题②正确；∵a∶b∶c＝7∶5∶3，∴sina∶sinb∶sinc＝7∶5∶3≠a∶b∶c，即命题③不正确；若b＋c＝8，则a＝7，b＝5，c＝3，∴s△abc＝bcsina＝×5×3×＝，即命题④正确，综上可得正确的命题序号是①②④
答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的周期为π.
1)求它的振幅、初相；
2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx
2(sinωx＋cosωx)
2sin(ωx＋)，又∵t＝π，即ω＝2.
f(x)＝2sin(2x＋)．
函数f(x)＝sinωx＋cosωx的振幅为2，初相为。
2)列出下表，并描点画出图像如图。
18．(本小题满分12分)(2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan(2x＋)，1)求f(x)的定义域与最小正周期；
2)设α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大小．
解：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈z，得x≠＋，k∈z，所以f(x)的定义域为．
f(x)的最小正周期为。
2)由f()＝2cos2α，得tan(α＋2cos2α，2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
因为α∈(0，)，所以sinα＋cosα≠0.
因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.
由α∈(0，)，得2α∈(0，)．
第四讲数学方法 一
基础班。习题四。1 三只木船共运木板9300块，甲船比乙船多运300块，丙船比乙船少运600块。三只木船各运多少块？解答 这类题就要用假设法进行思考，假设甲 乙 丙三只船所运的木板同样多，以乙船为标准，那么 9300 300 600 就是三只乙船所运的木板总数。所以乙船 9300 300 600 3...