2010年高考理科数学试题湖南卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则。
ab. c. d.
测量目标】集合的基本运算。
考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系，得出正。
确结论。难易程度】容易。
参***】c
试题解析】∵,故选c．
2.下列命题中的假命题是 （
ab. ,cd. ,测量目标】全称量词与存在量词。
考查方式】给出含有全称量词与存在量词的命题，判断真假得出结论。
难易程度】容易。
参***】b
试题解析】易知a、c、d都对，而对于b，当时，有，不对，故选b．
3.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）
a.圆、直线b.直线、圆。
c.圆、圆d.直线、直线。
测量目标】极坐标方程和参数方程与普通方程的互化。
考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为普通方程再判断其表示的图形。
难易程度】容易。
参***】a
试题解析】由极坐标方程可得表示的是圆；
由参数方程推得直线，故选a．
4.在中，，则等于。
测量目标】平面向量在平面几何中的应用。
考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积。
难易程度】容易。
参***】d
试题解析】，故选d．
5.等于 （
abcd.
测量目标】定积分的运算。
考查方式】直接给出定积分的式子求值。
难易程度】容易。
参***】d
试题解析】由微积分易知，，，故选d．
6.在中，角所对的边长分别为，若，,则( )
a. b. cd.与的大小关系不能确定。
测量目标】余弦定理。
考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理判断选项的正误。
难易程度】容易。
参***】a
试题解析】由余弦定理得，则有，而的边长均大于零，因而有，故选a．
7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 (
a.10b.11c.12d.15
测量目标】排列组合。
考查方式】给出一个实际问题运用排列组合的相关知识求解。
难易程度】中等。
参***】b
试题解析】易知数字0和1无限制排列时有种；与信息0110四个对应位置上的数字都相同的只有１个：0110；三个相同的有４个，分别为：0111,0100,0010,1110,由间接法可得符合条件的有个，故选b．
8．用表示两数中的最小值．若函数的图像关于。
直线对称，则的值为。
ab． c． d．1
测量目标】函数图像的性质。
考查方式】给出函数，画出其图像，通过对其图像的判断求解未知参数。
难易程度】中等。
参***】d
试题解析】本题考查了数形结合思想的运用。画出图形，知对称轴为，因此，选d.
第8题图 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g
测量目标】**分割点。
考查方式】运用**分割点的相关性质解决实际问题。
难易程度】容易。
参***】或。
试题解析】由0.618法求得第一次试点的加入量为g或g
10．如图所示，过外一点p作一条直线与交于两点．已知pa=2，点p到的切线长pt=4，则弦的长为 ．
第10题图
测量目标】切割线定理。
考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度。
难易程度】中等。
参***】6
试题解析】由切割线定理知，得pb=8,因此，ab=6.
11．在区间上随机取一个数x，则的概率为 ．
测量目标】几何概型。
考查方式】运用几何概型的相关知识求解区间内长度取值范围概率。
难易程度】容易。
参***】试题解析】因为，所以即为的概率为。
12．如图是求的值的程序框图，则正整数 ．
第12题图
测量目标】循环结构的程序框图。
考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序再得出结果。
难易程度】容易。
参***】100
试题解析】因为第一次循环，第二次循环+，输出结果为，所以循环了100次，则正整数。
13．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．
第13题图
测量目标】三视图。
考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体积求其高。
难易程度】容易。
参***】4
试题解析】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式。由三视图得几何体为底面为直角边长为5和6的锥体，由正视图得锥体的高为h，所以，解得。
14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简单几何性质。
考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简单几何性质求解未知参数。
难易程度】中等。
参***】2
试题解析】设直线方程为，设a点纵坐标为、b点纵坐标为（），步骤1）又得即（1），（步骤2）又因为梯形面积为，则得（2），（步骤3）由（1）、（2）联立得（*）由得，（步骤4）由韦达定理得代入（*）解得。（步骤5）
15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，测量目标】数列的创新运用。
考查方式】给出一个数列赋予其新性质求解数列中的未知项。
难易程度】中等。
参***】2
试题解析】，易知其中小于5的只有两个，故2；（步骤1）类推得： ，步骤2）故（步骤3）故填2， ．步骤4）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数．
ⅰ）求函数的最大值；
ii）求函数的零点的集合。
测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点。
考查方式】给出一个三角函数先运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合。
难易程度】中等。
试题解析】（ⅰ因为（步骤1）
所以，当即时，函数取得最大值1．（步骤2）
ii）解法1 由（ⅰ）及得（步骤3），所以。
或。即或（步骤4）
故函数的零点的集合为（步骤5）
解法2 由得，（步骤3）于是。
或即（步骤4）由可知；
由可知（步骤5）
故函数的零点的集合为（步骤6）
17．（本小题满分12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。
ⅰ）求直方图中x的值。
ii）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数x的分布列和数学期望。
第17题图
测量目标】频率分布直方图，分布列与数学期望。
考查方式】给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观察图求出未知参数，再运用分布列与数学期望的相关知识求解答案。
难易程度】中等。
试题解析】（ⅰ依题意及频率分布直方图知，解得．
（ii）由题意知，．（步骤1）因此，，（步骤2）
故随机变量x的分布列为。
x的数学期望为．
或．（步骤3）
18．（本小题满分12分）如图所示，在正方体中，e是棱dd1的中点。
ⅰ）求直线be与平面abb1a1所成的角的正弦值； （ii）在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f//平面a1be? 证明你的结论。
第18题图
测量目标】线面角，线面平行的判定。
考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解。
难易程度】中等。
试题解析】（ⅰ解法1 设正方体的棱长为1．如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系．（步骤1）
依题意，得所以（步骤2）
在正方体中，因为平面，所以是平面。
的一个法向量．（步骤3）设直线be和平面所成的角为，则。
即直线be和平面所成的角的正弦值为．（步骤4）
第18题（1）图
（ii）依题意，得设是平面。
的一个法向量，（步骤5）则由，得所以，取，得．（步骤6）设f是棱上的点，则。
又所以（步骤7）而平面，于是平面。
f为的中点．（步骤8）
这说明在棱上存在点f（的中点），使平面．（步骤9）
解法2 （ⅰ如图（）所示，取的中点m，连结em，bm．因为e是的中点，四边形为正方形，所以．（步骤5）又在正方体中，平面，所以平面，从而bm为直线be在平面上的射影，（步骤6）为be和平面所成的角．设正方体的棱长为2，则，（步骤7）
于是，在中，
即直线be和平面所成的角的正弦值为．（步骤8）
第18题图第18题图（b）
ii）在棱上存在点f，使平面．
事实上，如图（b）所示，分别取和的中点，连结．
因，且，所以四边形为平行四边形，（步骤10）
因此．又分别为，的中点，所以，从而这说明共面．（步骤11）
所以平面．因四边形与皆为正方形，分别为和的中点，所以，且，（步骤12）
因此四边形为平行四边形，所以．
而平面，平面，故平面．（步骤13）
19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的a,b两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过a,b两点的直线为x轴，线段ab的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，在直线的右侧，考察范围为到点b的距离不超过km区域；在直线的左侧，考察范围为到a,b两点的距离之和不超过km区域。