【命题趋向】
由2007年高考题分析可知：
1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．
2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．
3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．
考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题**现，试题多以低、中档题为主．
透析高考试题，知命题热点为：
1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．
2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件．
4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．
5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．
6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．
例题解析】,
例1（2007年北京卷理）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
命题意图：本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．
解：故选a．
例2．（2006年安徽卷）在中，，m为bc的中点，则___用表示）
命题意图： 本题主要考查[,
解：，，所以，.
例3．（2006年广东卷）如图1所示，d是△abc的边ab上的中点，则向量( )
a） （b）
cd）命题意图： 本题主要考查[,
解：，故选a.
例4． (2006年重庆卷)与向量=的夹解相等，且模为1的向量是 (
ab)或。cd）或。
命题意图： 本题主要考查[,
解：设所求[, 由。
另一方面，当。
当， ]与向量=的夹角相等。故选b.
例5．（2006年天津卷）设向量与的夹角为，且，，则__．
命题意图： 本题主要考查[,
解： 例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （
（a） （b） （c） （d）
命题意图： 本题主要考查应用[,
解：设，则依题意有。
故选b.例7.设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）
ab）cd）
命题意图： 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念。
常规解法：∵，故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选d.
巧妙解法：令=，则=，由题意知=，从而排除b，c，同理排除a，故选(d).
点评：巧妙解法巧在取=，使问题简单化。本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决。
2. 平面向量与三角函数，解析几何等问题结合。
1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解。
2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大。
例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈r,且函数y=f(x)的图象经过点，ⅰ）求实数m的值；
ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合。
解：（ⅰ由已知，得．
ⅱ）由（ⅰ）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为。
例2．（2007年陕西卷文17）
设函数。其中向量。
求实数的值； （求函数的最小值。
解：（ⅰ得．
ⅱ）由（ⅰ）得，当时，的最小值为．
例9．（2007年湖北卷理16）
已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
）求的取值范围；
）求函数的最大。
解：（ⅰ设中角的对边分别为，则由，，可得，．
即当时，；当时，．
例10．（2007年广东卷理）
已知abc的三个顶点的直角坐标分别为a(3,4)、b(0,0)、ｃc,0)
1）若c=5，求sin∠a的值；（2）若∠a为钝角，求c的取值范围；
解：（1），，若c=5， 则，，∴sin∠a＝；
2）∠a为钝角，则解得，∴c的取值范围是。
例11．（2007年山东卷文17）
在中，角的对边分别为．
1）求；（2）若，且，求．
解：（1） 又。
解得． ，是锐角． ．
又。例12. （2006年湖北卷）设函数，其中向量，.
（ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
命题意图：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
解：(ⅰ由题意得，f(x)＝·sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈z，于是＝（，2），k∈z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时＝（―2）即为所求。
例13．（2006年全国卷ii）已知向量＝(sinθ，1)，＝1，cosθ)，
ⅰ）若⊥，求θ；
ⅱ）求｜＋｜的最大值．
命题意图：本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。
解：（ⅰ若⊥，则sinθ＋cosθ＝0，由此得 tanθ＝－1(－＜所以 θ＝
ⅱ）由＝(sinθ，1)，＝1，cosθ)得。
＋｜＝当sin(θ＋1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．
例14．（2006年陕西卷）如图，三定点三动点d、e、m满足。
（i）求动直线de斜率的变化范围；
（ii）求动点m的轨迹方程。
命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、
三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，考查推理和运算能力。
解法一： 如图， (设d(x0,y0),e(xe,ye),m(x,y).由=t, =t ,
知(xd－2,yd－1)=t(－2,－2). 同理。
kde = 1－2t.
t∈[0,1] ,kde∈[－1,1].
ⅱ) t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(2t,4t2－2ty= ,即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[2,2].
即所求轨迹方程为： x2=4y, x∈[－2,2]
解法二： (同上。
ⅱ) 如图t = t(－)1－t) +t,= t = t(－)1－t) +t,
= +t= +t(－)1－t) +t
= (1－t2) +2(1－t)t+t2 .
设m点的坐标为(x,y),由=(2,1), 0,－1), 2,1)得。
消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为： x2=4y, x∈[－2,2]
例15．（2006年全国卷ii）已知抛物线x2＝4y的焦点为f，a、b是抛物线上的两动点，且＝λ（0）．过a、b两点分别作抛物线的切线，设其交点为ｍ．
ⅰ）证明·为定值；
ⅱ）设△abm的面积为s，写出s＝f(λ)的表达式，并求s的最小值．
命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程，以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力。
解：(ⅰ由已知条件，得f(0，1)，λ0．
设a(x1，y1)，b(x2，y2)．由＝λ，即得 (－x1，1－y)＝λx2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上a、b两点的切线方程分别是。
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点m的坐标为(，)1)．
所以·＝(2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0.
所以·为定值，其值为0．
ⅱ)由(ⅰ)知在△abm中，fm⊥ab，因而s＝|ab||fm|．
fm|＝＝
数学解题技巧 平面向量
第二讲平面向量。考点透视 平面向量 是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题 填空题，也可以与其他知识相结合在解答题 现，试题多以低 中档题为主 透析高考试题，知命题热点为 1 向量的概念，几何表示，向量的加法 减法，实数与向量的积 2 平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几...