减少解析几何运算量的若干方法。
在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
一、 回归定义，以简驭繁。
圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。
例1、在面积为1的δpmn中，∠=建立适当的坐标系，求以m、n为焦点且过点p的椭圆方程(93年高考题)
分析：在该题的题设条件中，其实是给出了δpmn的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。
解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为，则由椭圆定义有，，过点向轴作垂线，垂足为，，∠由平面几何知识有：，所求的椭圆方程为。
说明：在上述解题过程中，是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
例2、长度为a的线段ab的两端点在抛物线=2py(a≥2p>0)上运动，以ab的中点c为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。
分析：这里其实就是要求定长弦ab的中点c到准线的最小距离。由于ab中点到准线的距离等于ab两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求a、b两点到准线距离之和的最小值。
由抛物线的定义知：a、b两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段a、b过焦点时，a、b两点到焦点的距离之和取得最小值，这时a、b两点到准线的距离之和也取得最小值，所以点c到准线的距离取得最小值。
解：如图2，过弦ab的两端分别作准线的垂线，垂足为g、h,又设圆c与抛物线的准线切于d,设抛物线的焦点f,连cd、af、bf。由抛物线的定义，，且。
a。上式中的等号当且仅当ab过焦点f时成立。所以圆c的最小半径是a.
说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为，所以抛物线的定长弦的长度大于等于时，本例的上述解法才成立，如果时，弦ab就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当ab与轴垂直时，ab中点c到准线的距离最小。
设ab所在直线方程为，将它代入抛物线方程，得：，∴故点c到准线的距离为。所以这时圆c的最小半径为。
例3、设是曲线上三点，求证：△的垂心也在该曲线上。
分析：证垂心在曲线上，故只需求之值，而无需求、。
解：、、则从而知。
同理， 故有，并消去得：
二、 设而不求，整体运算。
在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。
例4、椭圆上有两点p、q，是原点，若op、oq斜率之积为。（1）求证：|op|2+|oq|2为定值。（2）求pq的中点m的轨迹方程。
解：（1）设p、q的两点坐标分别为、q,p、q分别在椭圆上，且，
得。3）代入（4）得，（1）+（2）得。
2）设p、q的中点m的坐标为m，则有，1）+（2）+（3）得，。
即：，中点m的轨迹方程为。
三、 充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算。
解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。
例5、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。
解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于点，切点在，，故∠=∠从而∠=∠共线。由切割线定理，（9）。又在△中，⊥，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）
说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于。
利用平几知识推导出。
例6、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角△，、在圆上。求的中点m的轨迹方程。
解：如图所示，设，连结在△中，是的中点，⊥，在△中，。。点的轨迹方程为。
说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。
在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。
四、 用“降维法”减少计算量。
变量的个数也称“维数”。确定直角坐标平面上的点只需两个量，因而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。
例7、已知；直线和曲线交于、两点，是这条直线上的点，且。求当变化时，点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85年上海考题）
解：设、、在轴上的射影分别是、、，这里是直线的倾斜角，。，即，（此式只与有关）也就是（1）将代入得：
（2），。将它们代入（1），得（3）再将代入（3）以消去，即得轨迹方程。由于方程（2）当且仅当≥0时有实根（即直线与二次曲线有交点），因此≤≤。
所以所求的轨迹是夹在两条平行直线和之间的椭圆的一部分，以及点。
例8：如图，给出定点和直线，b是直线上的动点，的角平分线交ab于点c，求点c的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
解：设点c的坐标为，则ac的方程为：，于是b。由角平分线性质知：。设c在轴上的射影为，于是ac与cb之比等于它们在轴上的射影之比，即。又由于ob∴有。
点c的轨迹方程为：。（当时，点c的轨迹为椭圆；（ⅱ当时，点c的轨迹为抛物线（ⅲ）当时，点c的轨迹为双曲线。
说明：将ac与cb之比转化为它们在轴上的射影之比，从而转化为a、c、b三点横坐标有关的比值，是该例解题过程中能够减少运算量的关键。
五、 利用韦达定理化繁为简。
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。
例9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（《数学通报》80年第6期）
分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即证：，于是只要证：ad的中点与bc的中点重合即可。
证明：如图设双曲线方程为（），则它的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）、、由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。由，消去得：。
设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，，即。由于， 。当直线垂直于轴时结论显然成立。
说明：a、d两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出ad中点的坐标；而b、c两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求出b、c中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。
例10、已知圆，及直线交于、，圆的动弦的中点在上，是否存在抛物线，恒与直线相切。
解：连。令，则， ,
故。1）视（1）为的一元二次方程，点在直线上≥0≥（2）。由（2）知直线上的点在抛物线的外部区域（不含焦点的区域）或在抛物线上。
将的方程代入中得，。故存在抛物线恒与相切。
六、 换元引参，功于渗透。
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等换元引参，往往起到化难为易、事半功倍之效。在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或变原题条件。
例11、已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直一平分线与轴交于点，证明（92高考题）
[分析]：要证的是不等差数列式，由此联想到正余弦函数的有界性，联想到三角换元。
证明：、两点在椭圆上，设、，，则。
中点， ,又，故，的垂直平分线的方程为。点在直线上，其坐标满足上面的方程， ，又，且。，又因，，从而。
七、 选用方程适当形式，减少运算量。
例12、离心率为的圆锥曲线中，过焦点f的对称轴与相应准线交于，过f的弦交曲线于m、n两点，过a而平行于mn的直线交曲线于b、c两点。求证：（摘自《数学通报》）
解：设圆锥曲线的方程为：（1）
mn的方程为：（为参数）（2）将（2）代入（1），有：，，设ac的方程为（为参数）（3）将（3）代入（1）有：，。
例13、过椭圆（）的中心o作互成角的三条半径、、，求证：为定值。
解：椭圆的普通方程化为极坐标方程：。设与轴所成的角为，由题意知、与轴分别成、的角。
定值）。由例12、例13可见，方程形式的选择要适当（读者可对照《数学通报》85年第3期第15页的解法）。一般地，涉及过定点的同一直线上的线段的和、差、积等问题，用直线的参数方程较好；涉及过圆锥曲线的焦点（或中心）的线段问题，曲线用极坐标方程为好。
八、巧用圆心，避免复杂运算。
当我们需求解圆周上一动点到二次曲线上一动点距离的最值问题时，如用“心”去解，则可避免复杂运算，达到化繁为简的效果。
例14、己知点p是椭圆上一动点，点q是圆上一动点，试求|pq|的最大值。
分析：如图8，当点、、q不共线时，，因此，要求|pq|的最大值，就应该使达到最大，即圆的圆心到椭圆上的动点p之间距离达到最大，将该最大值加半径就得所求。
解：先求点到椭圆上任一点p的距离的最大值。
设，于是，当时，取最大值，∴取最大值，于是。
说明：、若该题直接设、，则是一个含有与的二元最值问题，我们不易对它作进一步的运算，因此不能直接计算。
若我们从图形的特点出发，认为图8中（即圆与轴上方的交点）十分特殊，它与椭圆上点p的距离，则会产生错误，，所以在该题求解过程中，没有利用价值。
若在例题中增加求当达到最大值时，p、q两点的坐标，则应先求p点坐标。的延长线与圆的交点就是达到最大值时q点的坐标。
从本例题的求解过程中，可以发现圆心的作用十分突出。当我们求解这类最值时，就应用“心”去解，才能避免复杂运算，化繁为简。
练习：1、己知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦ab。
1）求证：的周长为常数（2）若的周长为16，椭圆离心率，求椭圆的方程。