6.1.2 信道的数学描述。
移动信道是时变多径衰落信道之一。
下面我们先对一般的时变多径衰落信道进行数学描述（包括一般性描述和特征描述），然后根据无线信道的特点，得出移动信道的数学模型。
一、一般性描述。
1. 信道二维冲激响应与传输函数。
带通发送信号可以表示为。
接收的带通信号可以表示为(可数离散多径)
故实带通信号的tv-cir（时变冲激响应）为。
其中τ代表时延域，而t代表时间域。
上式之所以成立是因为有。
当信道为时不变信道的时候，所以。
上式已经退化为线性时不变系统。
对于一般线性时变信道。
上式对应的等效低通形式为。
由此可见elp-tv-cir为。
表示在t时刻对时刻的冲激的响应。
上式之所以成立是因为有。
由此可见。上式中的信道和都是随机过程，故在通信中对信道的辨识实际上是辨识随机过程的一个实现(realization)。对于时不变或者慢变的信道，二元函数变为了一元函数或。
1）：反映多径时延扩展及频率选择性；
2）：反映时变性和时间选择性及多普勒扩展。
一般的时变多径衰落信道可以等效成时变线性系统（或时变滤波器），其响应函数为：
时变信道传递函数。
式中t为绝对时间（自然时间），是从开始加入为起始时刻的时间。
结论：时变线性信道的与均为等效低通复随机过程。
注：1）确知的时变系统只是随机系统的一个实现（realization）而已。
2）当信道是线性时不变的确知系统时，这是我们lti系统常用的式子。可以lti系统冲激响应是在时延域定义的。
2. 信道的自相关函数与散射函数。
1）自相关函数。
【定义】：的自相关函数。
1）一般信道自相关函数（属于二阶统计量）为四元函数。
2）但是在物理界的适用信道，在短时间内满足时间域的平稳性（多普勒域的不相关性）和时延域的不相关性（频率域的平稳性）。四元函数可以简化为二元函数。
3）我们通信信号处理所关心的是小尺度衰落，正是如此。这种信道称之为广义平稳不相关散射信道（wssus）。
分两步讨论：
1）假设是wss的（注：指t这一维）：
2）一般情况下，与两条路径是不相关散射（us）的（注：指时延这一维）：
以上为wssus广义平稳不相关散射信道。
由可以定义，称为多径强度分布函数，或时延功率谱。其傅里叶变换为，称为频率间隔相关函数。
【定义】：（时变传递函数）的自相关函数。
3）wssus条件下。
利用代入定义式可得。
其中。结论：对时变线性信道，
称为信道频率间隔（和时间间隔（）自相关函数。
(frequency-spaced time-spaced autocorrelation function)
2）散射函数（信道二维功率谱密度）（wssus下）
散射函数(scattering function)可用两种自相关函数来定义。
或（二维傅氏变换）
式中－时延，－多普勒频率。
实际上，不便于测量信道的自相关函数与散射函数。
在实际应用中，通常利用测量的方法对信道这两个特征描述。
二。特征描述。
1. 信道相关函数与功率谱（散射函数）之间的关系。
2. 多径扩展谱与多径扩展。
—多径扩展谱基本为非零值的的范围，称为多径扩展或时延扩展（delay spread）。
反映在时域上，衰落信号散布的程度。
：反映在频域上，衰落的快慢或选择性。
因为信号， 故。
当时，为频率非选择性衰落或时间非色散（isi=0）信道。
当时，为频率选择性衰落，或时间色散（isi0）信道。
3. 多普勒扩展谱与多普勒扩展。
—多普勒扩展谱基本为非零值的的范围，称为多普勒扩展。
反映在多普勒频域（）上，多普勒频移扩展程度。
或反映在频域（）上，射频偏移程度。
：反映在时间域上，衰落的快慢或选择性。
因此，当时，为时间非选择性衰落或频率非色散信道。
当时，为时间选择性衰落或频率色散信道。
4.小结。时变多径衰落信道的两个重要的特征参数：（时域），（频域）
1）用来描述信道特性－两个重要效应。
－描述信道多径效应（时域）
－描述信道多普勒效应（频域。
2）用来描述时间域上的信道特性－对传输波形的影响。
－描述信号波形周期(t)外失真情况(展宽，isi)，描述是否时间色散。
－描述信号波形周期(t)内失真情况（衰落），描述是否选择性衰落。
3）用来描述频率域上的信道特性。
－描述信道是否在带宽（w）内失真情况（选择性衰落）
描述信道是否在带宽（w）外失真情况（频率色散）