5.2简单的线性规划。
一、知识导学。
1. 目标函数： ｐ是一个含有两个变量 ｘ 和ｙ 的函数，称为目标函数．
2.可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域。
3. 整点：坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题：求线性目标函数**性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用**法来解决．
5. 整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析。
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科。主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．
3. 平移直线 ｙ＝kｘ ＋时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数**性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
三、经典例题导讲。
例1] ．画出不等式组表示的平面区域。
错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域。
错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了。
正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域。
[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围。
错解：由于 1x－y2 ①,2x+y4 ②,得32x6 ③
×(－1)+②得：02y3 ④.
×2+④×1)得。 34x－2y12
错因：可行域范围扩大了。
正解：线性约束条件是：
令z＝4x－2y，画出可行域如图所示，由得a点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由得b点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.
54x－2y10
[例3] 已知，求x2+y2的最值。
错解：不等式组表示的平面区域如图所示abc的内部（包括边界），令z= x2+y2
由得a点坐标（4，1），此时z＝x2+y2＝42+12＝17，由得b点坐标（－1，－6），此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由得c点坐标（－3，2），此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.
错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点a、b、c到原点的距离的平方的最值。
正解：不等式组表示的平面区域如图所示abc的内部（包括边界），令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方。
由得a点坐标（4，1），此时z＝x2+y2＝42+12＝17，由得b点坐标（－1，－6），此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由得c点坐标（－3，2），此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，而在原点处，，此时z＝x2+y2＝02+02＝0，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值0.
例4]某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱**。已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.
2m3，五合板1m2，**一张书桌可获利润80元，**一个书橱可获利润120元。如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？
怎样安排生产可使得利润最大？
分析： 数据分析列表。
设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为。
目标函数z=80x+120y
作出上可行域：
作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点a（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为。
zmax=80×100+400×120=56000(元)
若只生产书桌，得0z=80×300=24000（元）
若只生产书橱，得0z=120×450=54000（元）
答：略。例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成a、b、c三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：
每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2 m2，今需要a、b、c三种规格的成品各块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？
解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则。
目标函数z=x+2y
作出可行域如图。
作一组平行直线x+2y=t，由。
可得交点，但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20
若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m2);若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m2).它们都比zmin大，因此都不行。
答：略。[例6]设，式中满足条件，求的最大值和最小值。
解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，∴，
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。
四、典型习题导练。
1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域。
2．画出不等式组表示的平面区域
3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件。
4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？
5.某工厂家具车间造a、b型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成。已知木工做一张a、b型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张a、b型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张a、b型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产a、b型桌子各多少张，才能获得利润最大？
6．（06年高考广东）在约束条件下，当时，目标函数。
的最大值的变化范围是。
a.[6,15b.[7,15]
c.[6,8d.[7,8]
5.3 基本不等式的证明。
一、知识导学。
1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).
1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ0ａ≥ｂ0ａ≤ｂ其一般步骤为：①作差：
考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂr+，ａ1ａ≥ｂ1ａ≤ｂ其一般步骤为：①作商：
将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：
当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.
即从已知ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论ｂ.
3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.
用分析法证明书写的模式是：为了证明命题ｂ成立，只需证明命题ｂ1为真，从而有…，这只需证明ｂ2为真，从而又有…，…这只需证明ａ为真，而已知ａ为真，故ｂ必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式ａ>ｂ先假设ａ≤ｂ由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定ａ>ｂ凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。
主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。
此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如ａ+ｂ1，可以用ａ=1-ｔ，或ａ=1/2+ｔ，1/2-ｔ进行换元。