求数列通项公式的常用方法。
类型1、解法：利用与消去或与消去进行求解。
例 1 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？
， 又，.
变式1. 已知数列中，，前项和与的关系是 ，求。
变式2. 已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式。
变式3. 已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数列。 求数列的通项公式；
变式4. 数列的前项和为，，．求数列的通项。
变式5. 已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
变式6. 已知在正整数数列中，前项和满足。
1）求证：是等差数列 （2）若，求的前n项和的最小值。
类型2、型（其中为常数，，）
解：设 ∴
比较系数： ∴
是等比数列，公比为，首项为。
例1 已知数列中， ,求的通项公式。
解析】:利用， ,求得，是首项为，公比为2的等比数列，即， ,变式1.已知数的递推关系为，且求通项。
类型3、型，（可求前项和），利用求通项公式的方法称为累加法。
例1.已知的首项，（）求通项公式。解：
变式1.已知数列满足，求数列的通项公式。
变式2. 已知数列满足，求数列的通项公式。
变式3. 已知数列中， ,求数列的通项公式。
变式4. 已知数列满足，，求的通项公式。
类型4型。解：可设。
解得：， 是以为首项，为公比的等比数列
将a、b代入即可。
例1. 已知：，时，，求的通项公式。解：设。
解得：是以3为首项，为公比的等比数列。
类型5型 （）
等式两边同时除以得。
令则 ∴ 可归为型。
例1. 已知中，，（求。
由得。 成等差数列， ∴
类型6（为常数，下同）型，可化为的形式。
例1.在数列中，,求通项公式。
解：原递推式可化为：
比较系数得，①式即是：.
则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.
即。变式1. 已知数列满足，，求数列的通项公式。
变式2. 已知数列满足，求数列的通项公式。
变式3. 已知数列满足，求数列的通项公式。
类型7、型。
1）若是常数时，可归为等比数列。
2）若可求积，利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法。
例1：已知：，（求数列的通项。解：
变式1. 已知，求数列通项公式。
变式2. （2004年全国i第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。
变式3. 已知数列满足，，求。
变式4. 已知中，且求数列通项公式。
类型8、取倒数变成的形式的方法叫倒数变换。
例1 已知数列中， ,求数列的通项公式。
解析】:将取倒数得：,,是以为首项，公差为2的等差数列。,.
例2 已知中，，（求。解：
（）设。即。
是等差数列
例3. 已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得＝（n1）
变式1.已知数列｛｝中且（），求数列的通项公式。
变式2.数列中，，
变式3.在数列｛｝中， =1, ，求的表达式。
变式4. 数列中，，，求的通项。
变式5. 已知中，，其前项和与满足（）
1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式。
类型9、（其中p，q均为常数）。
(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根，1）当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a、b的方程组）；
2）当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a、b的方程组）。
3、型，可化为
的形式。例11 在数列{}中，，当， ①求通项公式。
解：①式可化为：
比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：
则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.
.利用上题结果有：
例1 数列：，,求。
解（特征根法）：的特征方程是：。,又由，于是。
故。变式1. 已知数列中，, 求。
变式2. 已知数列满足求数列的通项公式；
类型10 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例1 已知数列｛｝中， ，求数列。
解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：
变式1. 【2002年上海高考题】若数列{}中， =3且（n是正整数），则它的通项公式是=
类型11周期型。
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例1若数列满足，若，则的值为。
变式【2005湖南文5】已知数列满足，则=（)
a．0 b． c． d．
类型12平方（开方）法。
例1】 若数列{}中， =2且（n），求它的通项公式是。
解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。
数列求通项公式的五种重要方法
一 sn法，根据等差数列 等比数列的定义求通项an sn sn 1二 累加 累乘法 1 累加法适用于 若，则 两边分别相加得 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。2 累乘法适用于 若，则。两边分别相乘得，例4 已知数列满足，求数列的通项公式。例5 已知，求数列...