§8.1 数字信号的最佳接收的基本概念。
数字通信系统。
1． 信源编码：pcm，，dpcm等。
2． 信道编码：
与信道特性有关的：码型和波形选择；
与纠错与检错有关的：线性分组码，循环码，卷积码，网格码，turbo码等；
与传输效率有关的：正交码，伪随机码；
3． 调制：ask，psk，fsk，dpsk，qpsk，qdpsk，qam等。
8.1.1 最佳接收的问题。
典型的数字接收系统。
问题：如何设计接收系统使之达到最佳化？→最佳接收理论？
最佳接收理论：研究如何从噪声中最好地提取有用信号的接收方法。其所关心的问题包括：
1） 如何确定最佳接收准则？ 最佳接收准则的合理性。
2） 满足一定准则的最佳接收机结构与所能达到的性能？
3） 实际接收机与最佳接收机的差异？
4） 实现最佳接收机的具体方法。
8.1.2 数字信号接收的统计表述。
接收机观测到的信号波形是一个随机波形。其原因在于。
1） 发送信号的不确定性；
2） 干扰信号的不确定性。
任何随机因素总是遵循某种统计规律的。
数字通信系统的统计判决模型：
消息空间：，；
其中表示消息信号中第个状态的点。即消息空间由个离散点构成。
信号空间：，；
其中表示对应于消息信号的发送信号的波形，即信号空间由种波形构成。可以是不同幅度、不同相位或不同频率的电信号。
噪声空间：均值为零，方差为的高斯白噪声。其在观察时间内的个抽样值的维联合概率密度为。
若带限信号的截止频率为，理想抽样频率为，则在观察时间内共有个抽样值，其平均功率为。
令抽样间隔，若，则。
故。其中，为噪声的单边功率谱密度。
观察空间：，。
由于噪声的随机干扰，对应于发送信号，观测信号必将是对应于的一个随机变化的信号。因此对应于，随机信号取值的随机性可由统计学方法描述。
由于为高斯噪声，因此服从均值为的高斯分布。当发送信号为时，的条件概率密度为，上式称为似然函数。
判决规则：对于观测到的值判决其属于哪个发送信号，，的最佳规则。
判决空间：由判决规则划分的，与发送信号对应的观测信号所属的区间（或区域），即。
注意：表示某一点，表示某一区间（或区域）。
8.2 数字信号接收的最佳准则。
评价通信系统的二大准则：
1. 有效性：单位频带内传输的信息量；
2. 可靠性：模拟系统接收机输出最大信噪比，数字系统的最小错误概率（误码率）。
因此，合理的数字信号的最佳接收准则应该是最小错误概率准则。那么，如何计算错误概率？ 如何用最小错误概率准则划分判决空间？
一、错误概率的计算。
对于二进制数字传输系统，其发送的信号若为或，则错误判决的差错概率为。
其中，表示发送的先验概率；表示发送，落入而误判的概率。。
二、用最小错误概率准则划分判决空间。
因为正确判决概率。
由可知，所以，
注意：表示判为的概率）
即，在判决域内。
故有。判为，由此可推知。
判为。通常将称为似然比，称为判决门限。
由上述判决空间划分得到的边界点应满足下式。
若，则。该判决规则称为最大似然准则。
对于多进制数字系统，若，则最大似然准则为。
其中， 8.3 确知信号的最佳接收。
对于接收者来说，到达接收机的有用信号可分为二类：
1． 确知信号。即信号的参数是已知的。判决信号是否出现。
2． 随参信号。即信号的某些参数是未知的。例如，随机相位信号，以及随机振幅和相位信号（简称起伏信号）。 在某些参数是未知的条件下判决信号是否出现。
8.3.1 二进制确知信号的最佳接收机。
设到达接收机的二个可能确知信号为和，其持续时间均为，先验概率分别为和，且能量相等。接收机输入端噪声为零均高斯白噪声，其单边功率谱密度为。观测到的信号为，。
问题：如何由观测到的信号，以最小错误概率检测信号？
由可得，其中，。两边取对数，整理可得：
发送信号能量相等时，接收机的判决规则为：
判为，否则判为。
其中，。时，。
接收机的结构：
该结构的接收机也称为相关接收机。
8.3.2二进制确知信号最佳接收机的性能。
所谓最佳接收机的性能就是其最小错误概率为多少？即。
最小值？ 其中，表示发送的条件下，判为的概率；反之亦然。且和两者求解方法相同。
的求解：求解思路：1. 发送信号为的条件下，接收机判为事件的关系；
2．事件发生的概率：。
此时观测到的信号为。将其代入下列判决准则。
两边取对数，整理可得。
令： ，为高斯随机变量； （注意：为什么？），为一确定值。
事件等效于事件。
由此可知的求解等于的求解。即。
因为高斯随机变量的概率密度函数只取决于它的均值和方差，故。
所以， 。同理，当。将其代入。
可得，故 由此可得，令第一项，第二项则。
其中，与下列因素有关：
1) 先验概率：；
2) 噪声的单边功率谱密度：；
3) 两信号之差的能量：。
先验概率对的影响：
i） 若或时，。因为此时接收者已预先知道发送信息，故差错必为然为0。
ii） 若时，即先验等概，则，
iii） 若先验非等概，即，其比等概时小。如图8-6所示。但是先验非等概较难实现，因为码型选择要求先验等概，另外，接收端未必预先知道发送信息的先验概率。
所以，一般情况都采用先验等概的条件设计接收机。
8.3.3二进制确知信号的最佳形式。
先验等概的条件下，接收机的极限性能为。
其中，。发送信号和的互相关系数为。
其中，，且。
若和的能量相等，即，则。令
由上式可知：当和一定时，将是的函数，且与成正比。
a）时，即2psk调制系统，则
b）时，即二信号正交（2fsk调制系统或其它二进制正交调制系统），则
c）时，此时意味着（是否可能？），则。
其表示判对与判错概率相等。
d)时，即2ask调制系统，此时不能用计算，而直接用下式。则。#
最佳接收机结论：
2psk:，,最好。
2fsk:, 次之。
2ask:, 最差。
若定义最佳接收机的输入信噪比为：，其中，为信号在观测时间内的能量，为白噪声的单边功率谱密度，则在先验等概的条件下，二进制确知信号的最佳接收机的性能取决于，三种调制系统的输入信噪比依次差3db。
实际系统接收机的输入信噪比定义为，其中为输入接收机的信号平均功率，带通滤波器的输出功率。
由于两者定义不同，因此实际接收系统并非一定是最佳接收系统。那么，实际接收系统如何才能成为最佳接收系统呢？
8.6 实际接收系统与最佳接收系统的性能比较。
相干解调2psk
相干解调2fsk
相干解调2ask
非相干解调2fsk
实际系统输入接收机的信号平均功率与带通滤波器的输出功率之比，其中为带通滤波器的等效矩形带宽。
最佳系统在观测时间内的有用信号能量，与白噪声的单边功率谱密度之比，其中表示基带数字信号的重复频率。（因为一般定为码元宽度）
由此可知，若要使实际接收系统成为最佳接收系统，则必须满足下列关系：
因此，对于矩形基带信号，频率点就是频谱的第一个零点。若带通滤波器的带宽，则必然会使信号严重失真。因为对于已调信号的带宽至少是基带信号带宽的二倍。
故实际接收系统带通滤波器的带宽总要大于，即。所以实际接收系统的性能总是比最佳接收系统的差。其差值取决于与的比值。
由以上分析还可以得出另一个结论：若要使实际接收系统和最佳接收系统的误码率保持一致，则可以通过增加实际接收系统的输入信噪比。其方法是增加有用信号的发射功率，以抵消由于实际系统带通滤波器的带宽大于而引入的噪声功率。
例如：设二进制ask、psk信号，已知基带信号的频谱如下。
其中，：以基带信号频谱第一零点定义的带宽，：基带信号频谱第二零点。
已调信号频谱为：
1） 如果实际接收系统的带通滤波器只让有用信号第一零点的频谱通过，则实际系统的信噪比为。
对应的电平数(db)为。
因为，由此可知：由于实际系统带通滤波器的带宽引入的噪声功率，使得实际系统的输入信噪比与最佳接收系统的信噪比减少了3db。因此，若要使实际接收系统和最佳接收系统的误码率保持一致，则实际系统的输入信噪比只要增加3db就可以了。
2） 如果实际接收系统的带通滤波器只让有用信号第二零点的频谱通过，则实际系统的信噪比为。
对应的电平数(db)为。
因为，由此可知：由于实际系统带通滤波器的带宽引入的噪声功率，使得实际系统的输入信噪比与最佳接收系统的信噪比减少了6db。因此，若要使实际接收系统和最佳接收系统的误码率保持一致，则实际系统的输入信噪比只要增加6db就可以了。
8.7 匹配滤波器。
匹配滤波器是指输出信噪比最大的最佳线性滤波器。
8.7.1 匹配滤波器的基本原理。
匹配滤波器设计思想的由来：
二进制确知信号的最佳接收机设计是在加性白噪声干扰条件下，观测信号为时，如何最佳地检测有用信号或？
最佳接收机设计思想：使接收机恢复二进制码元的错误概率最小化为设计准则。
最佳接收机设计方法：
1． 对进行统计分析，寻求在发送端发送或条件下观测值的条件概率，即似然函数。
难点！2． 由最小错误概率准则，比较和得似然比判决方法。
判为。判为。
两边取对数，得， ,
其中，，。3． 假设简化：
假设1：后， ,
假设2：后，即时，判决规则为， ,
4． 发送信号能量相等，且先验等概条件下的最佳接收机的结构：
由二进制确知信号的最佳接收机设计思想和设计方法可见：以最小错误概率准则所设计的最佳接收机的判决规则是从统计意义上考虑观测信号与哪个发送信号更相像，没有考虑噪声对有用信号干扰的细部特征。
那么，是否能从噪声对有用信号干扰的细部特征考虑来设计最佳接收机呢？这就是匹配滤波器设计思想的由来。
问题：如何考虑噪声对有用信号干扰的细部特征，以及如何根据干扰特征设计最佳接收机？
由于干扰噪声是一随机过程，因此对其的描述方法为：自相关函数、功率谱密度或平均功率。为了与噪声比较，有用信号也就必须采用相同的功率特性来描述。
由此可见，噪声对有用信号干扰特性可通过两者的功率比来衡量，即信噪比。
则经比较器判决输出的正确率就会更高。