第十章矩阵位移法。
学习内容。有限单元法的基本概念，结构离散化。
平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
支承条件的处理，单元内力计算。
利用对称性简化位移法计算。
矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求。
矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机作为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩阵位移法从手算的角度来看运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。
矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
本章的基本要求：
矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
10-1 概述。
前面介绍的力法、位移法和力矩分配法都是建立在手算基础上的传统计算超静定结构的方法，因而只能解决一些比较简单的超静定结构的计算问题。随着电子计算机的广泛使用，给以计算为特征的结构力学在计算方法上带来了很大的变革。传统计算方法已不能适应新的计算技术的要求，于是适合于电算的结构矩阵分析便得到了迅速的发展。
它是以传统的位移法作为理论基础，力学分析中采用数学中的矩阵形式，计算工具采用计算机。因为采用矩阵运算，不仅使得公式形式紧凑，而且运算规律性强，很适合电算的要求，便于编制简单而通用性强的计算程序，故该方法得到了广泛应用。
杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有限元法，分为矩阵力法和矩阵位移法，亦称为柔度法和刚度法。由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化，因而应用很广泛，故本章只讨论矩阵位移法。
矩阵位移法的内容包括以下两部分：
(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元(在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元),即进行结构的离散化。然后分析单元内力与位移之间的关系式，建立单元刚度矩阵，形成单元的刚度方程，称该过程为单元分析。
(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构，建立结构刚度矩阵，形成结构刚度方程，解方程后求出原结构的结点位移和内力，称该过程为整体分析。
上述一分一合，先拆后搭的过程中，是将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析及集合问题。而由单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。
由于矩阵位移法和传统位移法计算手段不同，引起计算方法的差异。若从手算角度看，会感到该方法死板、繁杂。而从电算的角度看则是方便的，说明该方法适合电算不适合手算。
因为手算怕繁，怕重复性的大量运算；而电算怕乱，怕无规律性的计算，它适用于计算过程程序化强、计算量大的问题。
10-2 单元刚度矩阵。
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法。
图10-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一般情况，故称为一般单元。
单元的两端采用局部编码i和j。现以i点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。
字母、上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端和末端。i端的杆端位移为、和，相应的杆端力为、和(各符号上面的一横代表是在局部坐标系中的量值，上标e表示是单元的编号，下同)；
图10-1j端的杆端位移为、和，相应的杆端力为、和。杆端力和杆端位移的正负号规定为：杆端轴力以与轴正方向一致为正，杆端剪力以与轴正方向相同为正，杆端弯矩以逆顺时针转向为正，杆端位移的正负号规定与杆端力相同。
这种正负号规定不同于材料力学中的规定，也与前面各章中杆端剪力的正负号规定不同，应特别注意。
2. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式。
若忽略轴向变形和弯曲变形之间的相互影响，则可分别导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
首先，由虎克定律可知：
a)其次，可由转角位移方程(10-1)和(10-2),并按本节规定的符号和正负号，可将单元两端的弯矩和剪力表示为：
b)将(a)、(b)两式中的六个刚度方程合在一起，写成矩阵形式为：
上式称为单元的刚度方程，它可简写为：
分别称为单元的杆端力列向量和杆端位移列向量，而。
称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向量的分量数，列数等于杆端位移列向量的分量数，因而是一个6×6阶的方阵。值得注意的是杆端力列向量和杆端位移列向量的各个分量，必须是按式(10-3)和(10-4)那样从i到j按一定次序排列。
否则，随着排列顺序的改变，中各元素的排列亦将随之改变。为清晰起见，在式(10-5)的上方注明杆端位移分量，而在右方注明杆端力分量。
1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义。
中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分量等于1(其余杆端位移分量为零)时，所引起的所在行对应的杆端力分量的数值。
2) 单元刚度矩阵的性质。
1) 对称性由反力互等定理可知，在单元刚度矩阵中位于主斜线两边对称位置的两个元素是相等的，故是一个对称方阵。
2) 奇异性单元刚度矩阵是奇异矩阵。的相应行列式的值为零，逆矩阵不存在。因此，若给定了杆端位移，则可以由式(10-4)确定出杆端力；但是给定了杆端力后，却不能由式(10-4)反求出杆端位移。
由于讨论的是一般单元(自由单元),两端设有任何支承约束，因此，杆件除了由杆端力所引起的弹性变形外，还可以具有任意的刚体位移。
3. 特殊单元的刚度矩阵。
式(10-5)是一般单元的刚度矩阵，六个杆端位移可指定为任意值。有时，由于支承条件、考虑变形形式的影响及杆件受力特性等情况的不同，经常会遇到一些特殊单元。在这些单元中，由于有些杆端位移的值已知为零，而不能随意指定，从而使单元刚度矩阵较一般单元的要简单。
各种特殊单元的刚度矩阵无需另行推导，只需由一般单元刚度矩阵式(10-5)作一些特殊处理即可得到。
(1) 拉压杆单元。
两端铰结的拉压杆件(例如桁架中的杆件)，在外因影响下，杆件只有轴力，即该单元杆件两端只有轴向变形而无弯曲变形，如图10-3所示。单元刚度矩阵仍可由式(10-5)中删去第。
二、三、五、六行及第。
二、三、五、六列各元素得到，即。图10-3
为了以后便于进行坐标变换，可在式(10-7)中添上零元素的行和列，将2×2阶矩阵扩充为4×4阶矩阵：
2) 其它特殊杆单元。
同样可由式（10-5）经过修改得到相应的单元刚度矩阵。
补充作业：已知杆单元e的e=2×108kn/m2，i=32×10-5m4，a=10-2m2，l=4m，单元的杆端位移，单元上无荷载，求：（1），（2），（3）绘单元的内力图。
10-3 单元刚度矩阵的坐标变换。
在上节中，单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系中的。其目的是推导出的单元刚度矩阵形式最简单。如果从整体分析的角度来考虑，对于整个结构，由于各杆轴方向不尽相同，因而各单元的局部坐标也不尽相同，很不统一。
为了便于整体分析，在考虑整个结构的几何条件和平衡条件时，必须选定一个统一的坐标系，称为结构坐标系(或整体坐标系)。为了与局部坐标相区分，结构坐标系用xoy表示。
为了推导结构坐标系下的单元刚度矩阵，可采用坐标变换的方法，即把局部坐标系中建立的单元刚度矩阵转换为结构坐标系中的，为此，首先讨论两种坐标系中单元杆端力的转换式，得到单元坐标转换矩阵；其次再讨论两种坐标系中单元刚度矩阵的转换式。
1. 单元坐标转换矩阵。
下面讨论两种坐标系中杆端力之间的转换关系。图10-4所示杆件ij，在局部坐标系中，仍按式(10-3)、(10-4)一样，以、分别表示杆端力列向量和杆端位移列向量。而在结构坐标系中，用和来表示杆端力列向量和杆端位移列向量，即。
其中力和线位移与结构坐标系指向一致者为正，力偶和角位移以逆时针方向为正，由x轴到轴的夹角α以逆时针转向为正。
在两种坐标系中，力偶都作用在同一平面上，是垂直于坐标平面的矢量，因而不受平面内坐标变换的影响，有。
图10-4a）
杆端力之间的转换关系式可由投影关系得到，即。
b)将(a)、(b)两式写成矩阵形式，则为。
或简写为。
其中。称为坐标转换矩阵。即为两种坐标系中杆端力之间的转换式。
单元坐标转换矩阵是一个正交矩阵。因此，其逆矩阵就等于其转置矩阵，即。