勾股定理的十六种证明方法。
证法1】(课本的证明)
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等。 即。
整理得 .
证法2】(邹元治证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使a、e、b三点在一条直线上,b、f、c三点在一条直线上,c、g、d三点在一条直线上。
rtδhae ≌ rtδebf,
∠ahe = bef.
∠aeh + ahe = 90, ∠aeh + bef = 90.
∠hef = 180―90= 90.
四边形efgh是一个边长为c的。
正方形。 它的面积等于c2.
rtδgdh ≌ rtδhae,
∠hgd = eha.
∠hgd + ghd = 90, ∠eha + ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90, ∠dha = 90+ 90= 180.
abcd是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于。
证法3】(赵爽证明)
以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜。
边作四个全等的直角三角形,则每个直角。
三角形的面积等于。 把这四个直角三。
角形拼成如图所示形状。
rtδdah ≌ rtδabe,
∠hda = eab.
∠had + had = 90, ∠eab + had = 90, abcd是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.
ef = fg =gh =he = b―a ,hef = 90.
efgh是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于。
证法4】(1876年美国**garfield证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于。 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使a、e、b三点在一条直线上。
rtδead ≌ rtδcbe,
∠ade = bec.
∠aed + ade = 90, ∠aed + bec = 90.
∠dec = 180―90= 90.
δdec是一个等腰直角三角形,它的面积等于。
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90, ad∥bc.
abcd是一个直角梯形,它的面积等于。
证法5】(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使d、e、f在一条直线上。 过c作ac的延长线交df于点p.
d、e、f在一条直线上, 且rtδgef ≌ rtδebd, ∠egf = bed, ∠egf + gef = 90°, bed + gef = 90°, beg =180―90= 90.
又∵ ab = be = eg = ga = c, abeg是一个边长为c的正方形。
∠abc + cbe = 90.
rtδabc ≌ rtδebd, ∠abc = ebd.
∠ebd + cbe = 90.
即 ∠cbd= 90.
又∵ ∠bde = 90,∠bcp = 90,bc = bd = a.
bdpc是一个边长为a的正方形。
同理,hpfg是一个边长为b的正方形。
设多边形ghcbe的面积为s,则。
证法6】(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形,使e、a、c三点在一条直线上。
过点q作qp∥bc,交ac于点p.
过点b作bm⊥pq,垂足为m;再过点。
f作fn⊥pq,垂足为n.
∠bca = 90,qp∥bc, ∠mpc = 90, bm⊥pq, ∠bmp = 90, bcpm是一个矩形,即∠mbc = 90.
∠qbm + mba = qba = 90,abc + mba = mbc = 90, ∠qbm = abc,又∵ ∠bmp = 90,∠bca = 90,bq = ba = c, rtδbmq ≌ rtδbca.
同理可证rtδqnf ≌ rtδaef.
从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).
证法7】(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使h、c、b三点在一条直线上,连结。
bf、cd. 过c作cl⊥de,交ab于点m,交de于点。
l. af = ac,ab = ad,fab = gad, δfab ≌ gad, δfab的面积等于,gad的面积等于矩形adlm
的面积的一半, 矩形adlm的面积 =.
同理可证,矩形mleb的面积 =.
正方形adeb的面积
矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积。
,即 .证法8】(利用相似三角形性质证明)
如图,在rtδabc中,设直角边ac、bc的长度分别为a、b,斜边ab的长为c,过点c作cd⊥ab,垂足是d.
在δadc和δacb中, ∠adc = acb = 90,cad = bac, δadc ∽ acb.
ad∶ac = ac ∶ab,即 .
同理可证,δcdb ∽ acb,从而有 .
,即 .证法9】(杨作玫证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。
过a作af⊥ac,af交gt于f,af交dt于r. 过b作bp⊥af,垂足为p. 过d作de与cb的延长线垂直,垂足为e,de交af于h.
∠bad = 90,∠pac = 90, ∠dah = bac.
又∵ ∠dha = 90,∠bca = 90,ad = ab = c, rtδdha ≌ rtδbca.
dh = bc = a,ah = ac = b.
由作法可知, pbca 是一个矩形,所以 rtδapb ≌ rtδbca. 即pb =
ca = b,ap= a,从而ph = b―a.
rtδdgt ≌ rtδbca ,rtδdha ≌ rtδbca.
rtδdgt ≌ rtδdha .
dh = dg = a,∠gdt = hda .
又∵ ∠dgt = 90,∠dhf = 90,gdh = gdt + tdh = hda+ ∠tdh = 90, dgfh是一个边长为a的正方形。
gf = fh = a . tf⊥af,tf = gt―gf = b―a .
tfpb是一个直角梯形,上底tf=b―a,下底bp= b,高fp=a +(b―a).
用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为。
= 把②代入①,得。
证法10】(李锐证明)
设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使a、e、g三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号(如图).
∠tbe = abh = 90, ∠tbh = abe.
又∵ ∠bth = bea = 90,bt = be = b, rtδhbt ≌ rtδabe.
ht = ae = a.
gh = gt―ht = b―a.
又∵ ∠ghf + bht = 90,dbc + bht = tbh + bht = 90, ∠ghf = dbc.
db = eb―ed = b―a,hgf = bdc = 90, rtδhgf ≌ rtδbdc. 即 .
过q作qm⊥ag,垂足是m. 由∠baq = bea = 90,可知 ∠abe
∠qam,而ab = aq = c,所以rtδabe ≌ rtδqam . 又rtδhbt ≌
rtδabe. 所以rtδhbt ≌ rtδqam . 即 .
由rtδabe ≌ rtδqam,又得qm = ae = a,∠aqm = bae.
∠aqm + fqm = 90,∠bae + car = 90,∠aqm = bae, ∠fqm = car.
又∵ ∠qmf = arc = 90,qm = ar = a, rtδqmf ≌ rtδarc. 即。
,又∵ ,即 .
证法11】(利用切割线定理证明)
在rtδabc中,设直角边bc = a,ac = b,斜边ab = c. 如图,以b为圆心a为半径作圆,交ab及ab的延长线分别于d、e,则bd = be = bc = a. 因为∠bca = 90,点c在⊙b上,所以ac是⊙b 的切线。
由切割线定理,得。
,即, .
证法12】(利用多列米定理证明)
在rtδabc中,设直角边bc = a,ac = b,斜边ab = c(如图). 过点a作ad∥cb,过点b作bd∥ca,则acbd为矩形,矩形acbd内接于一个圆。 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有。
ab = dc = c,ad = bc = a,ac = bd = b, ,即 ,
证法13】(作直角三角形的内切圆证明)
在rtδabc中,设直角边bc = a,ac = b,斜边ab = c. 作rtδabc的内切圆⊙o,切点分别为d、e、f(如图),设⊙o的半径为r.
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