第十八章勾股定理（3月27日）
基本内容：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足。，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
考点分析：考点一：利用求未知边。
如①在一直角三角形中有两边长分别是，则其第三边长为5或（注意分类讨论） ；
印度数学家拜斯迦罗（公元1114～1185年）的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：
湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥，试问水深尺若干？
问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？
分析：设水深为x尺，则荷花高为（+0.5）尺，如图形成直角三角形。
由勾股定理可列方程：，解之：x=3.75
一棵大树离地面9米高处折断，树顶落在离树根底部12米远处，求大树折断前的高度？答24米
已知一个直角三角形的两条直角边分别为6与8，那么这个直角三角形斜边上的高为。
考点二：直角三角形的判定问题。
1、已知：在△abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△abc的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
2、已知：在△abc中，∠a、∠b、∠c的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠c=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
要证∠c=90°，只要证△abc是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
3、已知：如图，在△abc中，cd是ab边上的高，且cd2=ad·bd。
求证：△abc是直角三角形。
分析：∵ac2=ad2+cd2，bc2=cd2+bd2
ac2+bc2=ad2+2cd2+bd2
ad2+2ad·bd+bd2
（ad+bd）2=ab2
练习：1、若△abc的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△abc是（ ）
a．等腰三角形；
b．直角三角形；
c．等腰三角形或直角三角形；
d．等腰直角三角形。
2、已知△abc的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△abc的形状。
3．若△abc的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△abc的形状。
考点三：互逆命题与互逆定理问题。
1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
同旁内角互补，两条直线平行。
如果两个实数相等，那么两个实数的平方相等。
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
考点四：面积问题。
1、已知：如图，四边形abcd，ad∥bc，ab=4，bc=6，cd=5，ad=3。
求：四边形abcd的面积。
分析：⑴作de∥ab，连结bd，则可以证明△abd≌△edb（asa）；
de=ab=4，be=ad=3，ec=eb=3；
在△dec中勾股数，△dec为直角三角形，de⊥bc；
利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
2、若△abc的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△abc的面积。
考点五：折叠问题。
1、 如图，有一个直角三角形，两条直角边ac=6cm,bc=8cm,现将。
直角边ac沿直线ad折叠，使它落在斜边ab上，且与ae重合，你能求出cd的长吗？
2．如图，已知矩形abcd沿着直线bd折叠，使点c落在c/处，bc/交ad于e，ad=8，ab=4，则de的长为（ ）
a．3 b．4 c．5 d．6
考点六：无理数在数轴上表示问题。
如图所示：数轴上点a所表示的数为a，则a的值是（ b ）
a． +1 b． -1 c．-+1 d．
考点七：应用（航海、侧面展开图、最值，是否受污染问题）
例．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图（1），已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．
分析：此题的难点在于将圆柱展开后，纸带会发生什么样的变化，纸带被相。
应剪断为相等的4段，随着圆柱而展开．
解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图（2）
整个油纸也随之分成相等4段只需求出ac长。
即可，在rt△abc中，ab=36，bc=
由勾股定理得ac=ab+bc=36+27
ac=45，故整个油纸的长为45×4=180（㎝）
说明：此题对空间想象能力要求较高，一条曲线怎样随着圆柱的展开成为4条线段，同学们可以用纸卷成一个筒帮助自己分析一下，将曲线变成直线来解决问题．
1．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的a、b两个基地前去拦截，六分钟后同时到达c地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得ab=4米，bc=3米，cd=13米，da=12米，又已知∠b=90°。
3、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从a点爬到b’点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm.
4．如图6，一圆柱体的底面周长为24cm，高ab为5cm，bc是直径，一只蚂蚁从a出发沿着圆柱体的表面爬到点c的最短路程大约是（ ）
a）6cm（b）12cm（c）13cm（d）16cm．
5、如图，一个梯子ab=5米，顶端a靠在墙ac上，这时梯子下端b与墙角c间的距离为3m梯子滑动后停在de位置上，如图，测得db的长为1m，则梯子顶端a下落了 m．
6、将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是
7、如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边为a、b，则a+b的值等于
8、一个牧童在小河的南4km的a处牧马，而他正位于他的小屋b的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
9、如图，a城气象台测得台风中心在a城正西方向320km的b处，以每小时40km的速度向北偏东60°的bf方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域。
1） a城是否受到这次台风的影响？为什么？
2） 若a城受到这次台风影响，那么a城遭受这次台风影响有多长时间？
18章《勾股定理》复习考点
太平桥中学2015年上期八年级数学考点复习。勾股定理 2课时 知识点复习 1.勾股定理 直角三角形等于。几何语言表述 如图，在rt abc中，c 90 则222若bc a，ac b，ab c，则上面的定理可以表示为。练习 如图，已知在rt abc中，c 90 若a 3，b 4，则c若a 5，c 13...
勾股定理十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法。证法1 课本的证明 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a b，斜边长为c，再做三个边长分别为a b c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a b，所以面积相等。即。整理得 证法2 邹元治证明 以a b 为直角边，以...
勾股定理的几种证明方法
利用相似三角形证明 有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。设abc为一直角三角形，直角于角c 看附图 从点c画上三角形的高，并将此高与ab的交叉点称之为h。此新三角形ach和原本的三角形abc相似，因为在两个三角形中都有一个直角 这又是由于 高 的定义 而两个三角形都有a这个共...
勾股定理16种经典证明方法
证法4 1876年美国 garfield证明 以a b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a e b三点在一条直线上。rt ead rt cbe,ade bec.aed ade 90,aed bec 90.dec 180 9...
广告策划理论与实务复习考点
宏观广告策划的概念 又叫整体广告策划，它是对同一广告目标统摄下的一系列广告活动的系统性 和决策，即对包括市场调查广告目标确定，广告定位，战略战术确定，经费预算，效果评估在内的所有运作环节进行总体决策。微观广告策划 又称单项广告策划，即单独地对一个或几个广告的运作全过程进行策划。广告策划的要素 1策划...
戴维南定理实验报告
实验。一 戴维南定理。一 实验目的 1 深刻理解和掌握戴维南定理。2 初步掌握用multisim软件绘制电路原理图。3 初步掌握multisim软件中的multimeter voltmeter ammeter等仪表的使用以及dc operating point parameter sweep等spi...
一阶逻辑定理证明
令a是pl的公式，x在a中自由出现 101，xa x ya y 101 xa x ya y 102，xa x xa x 103，xa x xa x 104，xa x xa x 105，xa x xa x 令a，b是pl的公式，x在a，b中自由出现 106，xya x，y y xa x，y 107，x...
单片机相关考点
题型 判断，填空，简答题，编程题。一 部分章节分值分布 3 4章 10分。5章 15分。6章 15分。9章 15分。二 部分考点 1.微机和单片机的概念，程序计数器。2.内部清零和外部清零的程序，30页的相关引脚以及输入输出口，38页数据存储空间的两大部分，41页特殊功能寄存器表2 7，复位操作 表...