课时作业16 合情推理与演绎推理]
1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…fn(x)＝f′n－1(x)，n∈n，则f2009(x)＝(
a．sinx b．－sinx
c．cosx d．－cosx
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
a．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠a，∠b是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠a＋∠b＝180°
b．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人。
c．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质。
d．在数列中，a1＝1，an＝ (n≥2)，由此归纳出的通项公式。
3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点a(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点a(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为。
4．[2011·陕西卷] 观察下列等式。
照此规律，第五个等式应为。
5．下列推理是归纳推理的是( )
a．a，b为定点，a>0且为常数，动点p满足||pa|－|pb||＝2a<|ab|，则p点的轨迹为双曲线。
b．由a1＝1，an＝3n＋1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式。
c．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积s＝πab
d．三角形abc一条边的长度为4，该边上的高为1，那么这个三角形的面积为2
6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图k62－1)，则第七个三角形数是( )
图k62－1
a．21 b．28
c．32 d．36
7．设函数f(x)＝，类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(－4)＋f(－3)＋…f(0)＋f(1)＋…f(4)＋f(5)的值为( )
a. b.
c. d.
8．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设aij(i，j∈n*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为( )
a．105 b．106
c．107 d．108
9．[2011·福建卷] 在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
10．半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为r的球，若将r看作(0，＋∞上的变量，请你写出类似于①的式子式可以用语言叙述为。
11．如图k62－2，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……
图k62－2
试用n表示出第n个图形的边数an
12．设等差数列的前n项和为sn，则s4，s8－s4，s12－s8，s16－s12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前n项积为tn，则t4成等比数列．
13．设f(x)定义如表，数列满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2011的值为___
14.(10分)观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
课时作业16答案。
基础热身】1．c [解析] f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝sinx，f3(x)＝(sinx)′＝cosx，f4(x)＝(cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝sinx＝f2(x)，fn＋4(x)＝…fn(x)，故可猜测fn(x)是以4为周期的函数，有。
f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx.故f2009(x)＝f1(x)＝cosx，故选c.
2．a [解析] a是演绎推理，b、d是归纳推理，c是类比推理．故选a.
3．x＋2y－z－2＝0 [解析] 设b(x，y，z)为平面内的任一点，由·n＝0得(－1)×(x－1)＋(2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.
4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析] 因为。
第一个式子左边1个数，右边1；
第二个式子左边3个数，从2开始加，加3个连续整数，右边3的平方；
第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个连续整数，右边5的平方；
第四个式子左边7个数，从4开始加，加7个连续整数，右边7的平方，故第五个式子为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
能力提升】5．b [解析] 从s1，s2，s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理，所以b是归纳推理．
6．b [解析] 观察这一组数的特点：a1＝1，an－an－1＝n，an＝，∴a7＝28.
7．b [解析] ∵f(x)＝，f(－x)＝＝f(x＋1)＝＝则f(－x)＋f(x＋1)＝＋
＝，f(－4)＋f(5)＝f(－3)＋f(4)＝f(－2)＋f(3)
f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝，原式的值为×5＝.故选b.
8．c [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
9．c [解析] 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；
因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；
因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；
若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈z)，则。
a－b＝5(n1－n2)∈[0]；
反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈z)，则。
a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；
k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选c.
10. ′4πr2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
11．3×4n－1 [解析] a1＝3，a2＝12，a3＝48，可知an＝3×4n－1.
12. [解析] 通过类比，若等比数列的前n项积为tn，则t4，，，成等比数列．此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．
13．5 [解析] 由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知是周期为6的周期数列，所以x2011＝x1＝5.
14．[解答] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋αsinα·cos(30°＋α
证明：sin2α＋cos2(30°＋αsinα·cos(30°＋α
＋＋ sin(30°＋2α)－sin30°]
1＋ [cos(60°＋2α)－cos2α]＋
1＋ [2sin(30°＋2α)sin30°]＋
－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝
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