令a是pl的公式，x在a中自由出现：
101，├xa（x）ya（y）
101 ├xa（x）ya（y）
102，├xa（x）xa（x）
103，├xa（x）xa（x）
104，├xa（x）xa（x）
105，├xa（x）xa（x）
令a，b是pl的公式，x在a，b中自由出现：
106，├xya（x，y）y xa（x，y）107，├xya（x，y）yxa（x，y）108，├xya（x，y）yxa（x，y）；反之不成立。
令a，b是pl的公式，x在a，b中自由出现：
109，├x（a∧b）xa∧x b
110，├x（ab）xax b
111，├x（a→b）→（xa→x b），反之不成立。
112，├x（ab）→（xax b），反之不成立。
113，├（xa∨x b）→x（a∨b）反之不成立。
114，├x（a∧b）xa∧x b，反之不成立。
令a，b是pl的公式，x在b中自由出现并且在a中非自由出现，则有：
115，├x（a∨b）a∨x b
116，├x（a∨b）a∨x b
117，├x（a∧b）a∧x b
118，├x（a∧b）a∧x b
119，├x（a→b）（a→x b）
120，├x（a→b）（a→x b）
121，├x（b→a）（x b→a）
122，├x（ b→a）xb→a
123，├x（a→a）
124，├x（a∨a）
125，├x（a∧a）
证明102 ：├xa（x）xa（x）
xap xap
a（apxap
a（aa（a） ⑶r
xa6xa∧xa （1）（7
xa∧ xa （2），（3）―（8
xa2）—（9
xap a（ap，a要符号条件。
xap（12）+
xa11）r
a（a12）—（14）—
xa（x/a15）a要符合条件。
xa（x）xa（x） （1）—（10），（11）—（16）+证明103：├xa（x）xa（x）
xa（xp
a（apxa（xp
a（aa（ar
xa（x xa（x
xa（xp
xa（xp
a（ap（ a不出现在（8）（9）（14）中。
xa（x10）+
xa（x9）r
a（a10）—（12）+
xa（x13）+
xa（x8）r
xa（x9）—（15）—
xa（x）xa（x） （1）—（16）+
证明104：├xa（x）xa（x）
xa（xp
xa（xp
a（ap（a符合条件）
xa（xpa（a
a（arxa（x
xa（x xa（xr
xa（x xa（xp
a（ap（a符合条件）
xa（x12）+
xa（x11）r
a（a12）—（14）+（a符合条件）
xa（x13）+
xa（x）xa（x1）—（10），（11）—（16）+证明105：├xa（x）xa（x）
xa（xp
a（apxa（xp
a（a3）—
a（a2） xa（x3）—（5）+
xa（x1），（2）—（6）—
xa（xp
xapa（ap（a符合条件）
xa（x/a10）+
xa9）r a（a10）—（12）—
xa（x/a13）+（a符合条件）
xa（x8）r
xa9）—（15）—
xa（x）xa（x） （1）—（7），（8）—（16） +下面的证明不再写出右面的依据，可以作为练习自己填入。
证明106：├xya（x，y）y xa（x，y）xya ya（a，y）
a（a，b）
x a（x，b）
y xa（x，y）
y xa（x，y）
xa（x，b）
a（a，b）
ya（a，y）
xya（x，y）
xya（x，y）y xa（x，y）
证明107：├xya（x，y）yxa（x，y）xya（x，y）
ya（a，y）
a（a，b）
xa（x，b）
y xa（x，y）
y xa（x，y）
y xa（x，y）
yxa（x，y）
xa（x，b）
a（a，b）
ya（a，y）
y xa（x，y）
yxa（x，y）
yxa（x，y）
xya（x，y）y xa（x，y）
证明108：├xya（x，y）yxa（x，y）；反之不成立。
xya（x，y）
ya（a，y）
a（a，b）
xa（x，b）
yxa（x，y）
yxa（x，y）
xya（x，y）yxa（x，y）
反之不成立，是因为“所有的y同有的x之间有关系a的那个x”，不一定就是“同所有的y有关系a的那个x”。我们可以用一个解释证明yxa（x，y）xya（x，y）是不成立的。令y是偶数，x是质数，a是y能x整除，yxa（x，y）的意思是“所有的偶数都能被某个质数整除”因此是真的命题，我们可以找到这个质数，即2。
xya（x，y）的意思是：“有一个质数，它能被所有的偶数整除”这显然是假命题。
证明109：├x（a∧b）xa∧x b（自证）证明110：├x（ab）xax b
x（ab）
a（a）b（a）