《配方法》解一元二次方程教学案例。
汉川市马口中学王克文。
教学目标。知识与技能】
使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。
过程与方法】
经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
情感、态度与价值观】
通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点难点。
重点】用配方法解一元二次方程。
难点】配方的过程。
教学过程设计。
（一）创设情境导入新课。
导语一（1）你能解哪些一元二次方程？
2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
3）解方程x2+12x-15=0的困难在**？你能将方程x2+12x-15=0转化为上面方程的形式吗？
导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
2、将下列各式配成完全平方式。
1）a2+12a+ 62 =(a+ 6 )2；
2）x2- x +=x+ )2；
3、若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。
导语三为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？
你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？
设这两年的年平均增长率为x，则1600(1+x)2=1936，解得x=10%，x2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%]
二）合作交流解读**。
1、配方法。
问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。）
即：设场地宽xm，长(x+6)m。根据矩形面积为16m2，列方程x(x+6)=16，即x2+6x-16=0 （注：
本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。）
思考）怎样解方程x2+6x-16=0?
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x2+6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x2+6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。
）,移。项， ,
两边都加上9（即()2）使左边配成。
x2+2bx+b2的形式， ,
左边写成平方形式， ,
降次， ,解一次方程。
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
2、用配方法解一元二次方程的一般做法。
1）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；
2）方程的两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；
3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；
4）如果右边是非负数，两边直接开平方，解这个一元二次方程。
三）应用迁移巩固提高。
类型之一用配方法解一元二次方程。
例1】解下列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导。）
1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0
解：（1）移项，得x2-10x=-24
配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=±1，x1=6，x2=4
2）整理，得2x2+5x-8=0。
移项，得2x2+5x=8
二次项系数化为1得x2+x=4，配方，得。
x+)2=，由此可得x+=±x1=， x2=
3）移项，得3x2-6x=-4
二次项系数化为1，得x2-2x=-，配方，得x2-2x+12=-+12,x-1)2=-
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。（注：本次活动，教师应重点关注：
1、学生对待解问题和已解问题的对比、分析能力；2、给予学生一定的时间去思考，争取让学生自主得出结论；3、鼓励学生大胆猜想，勇于发表见解）。
做一做]解下列方程：
1）x2-8x+1=0； （2）2x2+1=3x； （3）4x2-6x-3=0
分析】（1）把x2-8x+1=0移项，得x2-8x=-1，两边都加一次项系数的一半的平方，得x2-8x+42=-1+42，即(x-4)2=15，再开平方即可求出方程的解。
2）先移项化为2x2-3x+1=0,再方程两边同时除以2，得x2-x+=0，再移项，配方。
3）两边同时除以4，把二次项系数化为1，再移项，配方。
特别提示]（1）配方法的含义是把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边经为非负数，然后用开平方法求解。
2）配方的关键是“方程两边加上一次项系数一半的平方”
类型之二二次三项式的配方。
例2】填空：(1)x2+6xx+3)2；(2)x2-5x+__x-__2；
3)x2+x+__x+)2；(4)x2+px+__x+__2。（学生练习，教师巡视，适当辅导，然后由学生回答，师生一起纠正，然后归纳。）
归纳】左边常数项是一次项系数的一半的平方，右边是一次项系数的一半。
答案】(1)32；(2)()2 ；(3)()2；(4)()2 .
例3】用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k的形式。
1)-3x2-6x+1；(3) y2+y+2；(3)0.4x2-0.8x-1.
解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-)=3(x2+2x+12-12-)
= -3[(x+1)2-]=3(x+1)2+4
3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4[(x2-2x+12)-12-2.5]
0.4(x-1)2-1.4
点评】化二次三项式ax2+bx+c(a≠0)为a(x+h)2+k形式分以下几个步骤。
1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1.
2）配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方。
3）化简、整理。
4）本例题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础。
四）总结反思拓展升华。
总结]1.本节学习的数学知识是用配方法解一元二次方程。
2.本节学习的数学方法是①转化思想。②根据实际问题建立数学模型。
反思]用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
分析】(1)把二次项系数化为1；方程的两边同时除以二次项系数。
2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3)配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a)2=b的形式。
4)用直接开平方法解变形的方程(x+a)2=b的形式。
拓展]用配方法证明：多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。
分析】欲证2x4-4x2-1>x4-2x2-4，即证(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)>0，只要算出(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)值的大小即可。
证明：(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)
x4-2x2+3=(x2)2-2x2+1+2=(x2-1)2+2>0
点评】比较a，b两数的大小，常用作差法。
当a-b>0，则a>b；当a-b=0，则a=b；当a-b<0，则a（五）本节课的设计理念。
鼓励学生从事观察、应用、推理等活动，帮助学生有意识地积累数学应用的经验，教学中应鼓励学生动手、动口、动脑和交流，充分展示“观察——想象——应用——归纳（有条理地表达）”的过程，使学生在直观的基础上学习归纳，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质。
一元二次方程的由来
一元二次方程 quadratic equation of one variable 是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中 求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数。可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式...
配方法解二元一次方程
解二元一次方程 配方法。前面的一节课，我们学习了形如 x2 n n 0 或者 mx n 2 p p 0 这样方程的解法。可以直接开平方可解出方程的根。如果p小于0，则原方程没有实数根。同学们，还记得上一节课，老师留给大家的课后思考题吗？对于方程x2 6x 9 25，x2 4x 12，你会解吗？有哪位...