定理在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于m、n两点，点是弦mn的中点，弦mn所在的直线的斜率为，则。
证明：设m、n两点的坐标分别为、，则有。得。又。
同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于m、n两点，点是弦mn的中点，弦mn所在的直线的斜率为，则。
例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点a、b，o为坐标原点，点p满足，点n的坐标为。当绕点m旋转时，求：
1）动点p的轨迹方程；（2）的最大值和最小值。
解：（1）设动点p的坐标为。由平行四边形法则可知：点p是弦ab的中点 .
焦点在y上， 假设直线的斜率存在。
由得： 整理，得：
当直线的斜率不存在时，弦ab的中点p为坐标原点，也满足方程。
所求的轨迹方程为。
2）配方，得：
当时，；当时，
例2 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点p和q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为a、b，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由。
解：（1）直线的方程为。
由得： 直线与椭圆有两个不同的交点，＞0.解之得：
或＞.的取值范围是。
2）在椭圆中，焦点在轴上，，设弦pq的中点为，则。
由平行四边形法则可知： 与共线， 与共线。
从而由得：，
由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数。
例3已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为。(ⅰ求椭圆的标准方程；(ⅱ过点的直线与该椭圆相交于m、n两点，且，求直线的方程。
解：（ⅰ根据题意，得。
所求的椭圆方程为。
ⅱ）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦mn的中点为。
由平行四边形法则知：.
由得：.…若直线的斜率不存在，则轴，这时点p与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在。
由得： …代入①，得。
整理，得：.解之得：，或。
由②可知，不合题意。 ，从而。
所求的直线方程为，或。
例4 已知椭圆（＞＞0）的离心率为，过右焦点f的直线与c相交于a、b两点。 当的斜率为1时，坐标原点o到的距离为。
1）求的值；（2）c上是否存在点p，使得当绕f转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点p的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为1时，则其方程为，即。 原点o到的距离：，
又， .从而。，.
2）椭圆的方程为。 设弦ab的中点为。 由可知，点q是线段op的中点，点p的坐标为。
若直线的斜率不存在，则轴，这时点q与重合，，点p不在椭圆上，故直线的斜率存在。
由得。由①和②解得：.
当时，，点p的坐标为，直线的方程为；
当时，，点p的坐标为，直线的方程为。