1、【2012·新课标】已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球o的求面上，△abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc=2,则此棱锥的体积为（ ）
答案】：a解析】：由题意得，的边长为1，所以，在直角中，，所以，所以三棱锥的高，所以几何体的体积为，故选a.
点评】：本题考查了组合体的性质，根据三棱锥与球的组合体，计算三棱锥的度量关系，本题属于中档试题，需认真把握几何体的线面关系和度量关系。
2、【2012新课标】（本小题满分12分）
如图，之三棱柱d是棱的中点，
ｉ)证明：;
ｉｉ）求二面角的大小。
命题立意】：，有空间向量来完成。
点评】：该题考查空间内的垂直关系的证明、空间角的计算。考查定理的理解和运用，空间向量的运用。
同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题时要注意法向量的计算和运用这一关键。
3．【2012·大纲】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为。
答案。命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。
解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有，则。
而。4、【2012·大纲】（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，是上的一点，。
1）证明：平面；
2）设二面角为，求与平面所成角的大小。
命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。
解：设，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。
ⅰ）证明：由得， 所以，，，所以，所以，，所以平面；
ⅱ） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。
所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。
点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
5、【2012·安徽】（本小题满分12分）
平面图形如图4所示，其中是矩形，现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都。
与平面垂直，再分别连接，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答。
下列问题。ⅰ）证明求的长；
ⅲ）求二面角的余弦值。
解析】（）取的中点为点，连接。
则，面面面。
同理：面得：共面。
又面。ⅱ）延长到，使得： ，面面面面。
（ⅲ）是二面角的平面角。
在中， 在中，
得：二面角的余弦值为。
6、【2012·重庆】（本小题满分12分（ⅰ）小问4分（ⅱ）小问8分）
如图，在直三棱柱中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点。
ⅰ）求点c到平面的距离；
ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。
解：（1）由，为的中点，得，又，故，所以点到平面的距离为。
2)如图，取为的中点，连结，则，又由（1）知，故，所以为所求的二面角的平面角。
因为在面上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理得，从而都与互余，因此，所以，因此，,即，得。
从而，所以，在中，7、【2012·北京】（本小题共14分）
如图1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且de∥bc，de=2，将△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如图2.
1） 求证：a1c⊥平面bcde；
2） 若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；
3） 线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？
说明理由。解：（1），平面，又平面，又，平面。
2）如图建系，则，设平面法向量为。
则 ∴ 又∵，与平面所成角的大小。
3）设线段上存在点，设点坐标为，则。
则，设平面法向量为，则 ∴
假设平面与平面垂直，则，∴，不存**段上存在点，使平面与平面垂直。
8、【2012·福建】（本小题满分13分）
如图，在长方体中，，为中点。
ⅰ）求证：；
ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。
ⅲ）若二面角的大小为，求的长。
考点：立体几何。
难度：中。分析：
解答：ⅰ）长方体中，得：面。
面。ⅱ）取的中点为，中点为，连接。
在中，面。此时。
ⅲ）设，连接，过点作于点，连接。
面，得：是二面角的平面角。
在中，在矩形中，得：
9、 【2012·广东】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )
解析】选几何体是圆柱与圆锥叠加而成。
它的体积为。
10、【2012·广东】(本小题满分13分)
如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点**段上，平面。
1） 证明：平面；
2） 若，求二面角的正切值；
解析】（1）平面，面。
平面，面。又面。
2）由（1）得：，平面是二面角的平面角。
在中，在中，得：二面角的正切值为。
11、【2012·湖北】（本小题满分12分）
如图1，，，过动点a作，垂足d**段bc上且异于点b，连接ab，沿将△折起，使（如图2所示）．
ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在。
棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
解：ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以。
由折起前知，折起后（如图2），，且，所以平面．又，所以．于是。
（lbylfx）
当且仅当，即时，等号成立，故当，即时， 三棱锥的体积最大。
解法2：同解法1，得．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时， 三棱锥的体积最大。
ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．
由（ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
于是可得，且．
设，则。 因为等价于，即。
故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．
设平面的一个法向量为，由及，得可取．
设与平面所成角的大小为，则由，，可得。
即．故与平面所成角的大小为。
解法2：由（ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
如图b，取的中点，连结，，，则∥.
由（ⅰ）知平面，所以平面。
如图c，延长至p点使得，连，，则四边形为正方形，所以。 取的中点，连结，又为的中点，则∥，所以。 因为平面，又面，所以。
又，所以面。 又面，所以。
因为当且仅当，而点f是唯一的，所以点是唯一的。
即当（即是的靠近点的一个四等分点。
连接，，由计算得，所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面．在平面中，过点作于，则平面．故是与平面所成的角．
在△中，易得，所以△是正三角形，故，即与平面所成角的大小为
12、【2012·湖南】本小题满分12分）
如图5，在四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，ab=4，bc=3，ad=5，∠dab=∠abc=90°，e是cd的中点。[**%:*中#国教~育出@版网]
ⅰ）证明：cd⊥平面pae；
ⅱ）若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥p-abcd的体积。
解析】解法1（ⅰ如图（1）），连接ac，由ab=4，是ｃｄ的中点，所以。
所以。而内的两条相交直线，所以cd⊥平面pae.
ⅱ）过点ｂ作。
由（ⅰ）cd⊥平面pae知，ｂｇ平面pae.于是为直线ｐｂ与平面pae
所成的角，且。
由知，为直线与平面所成的角。
由题意，知。
因为所以。由所以四边形是平行四边形，故于是。
在中，所以。
于是。又梯形的面积为所以四棱锥的体积为。
解法2：如图（2），以a为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系。设则相关的各点坐标为：
ⅰ）易知因为。
所以而是平面内的两条相交直线，所以。
ⅱ)由题设和（ⅰ）知，分别是，的法向量，而pb与。
所成的角和pb与所成的角相等，所以。
由（ⅰ）知，由故。
解得。又梯形abcd的面积为，所以四棱锥的体积为。
点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算。第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积。
13、（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．
答案】6。考点】正方形的性质，棱锥的体积。
解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。
∴四棱锥的体积为。由。
14、（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。（lb ylfx）
又∵平面，∴平面平面。