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第一讲圆的方程。
一、知识清单。
一）圆的定义及方程。
1、圆的标准方程与一般方程的互化。
1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取d＝－2a，e＝－2b，f＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0.
2）将圆的一般方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0通过配方后得到的方程为：
x＋)2＋(y＋)2＝
当d2＋e2－4f>0时，该方程表示以(－，为圆心， 为半径的圆；
当d2＋e2－4f＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，当d2＋e2－4f<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项。
3、圆的一般方程中有三个待定的系数d、e、f，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
二）点与圆的位置关系。
点m(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
1）若m(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
2）若m(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
3）若m(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2（三）温馨提示。
1、方程ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0表示圆的条件是：
1）b＝0；（2）a＝c≠0；（3）d2＋e2－4af＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
2）圆心在任一弦的中垂线上．
3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，点m(x，y)是线段ab的中点，则x＝，y＝ .
二、典例归纳。
考点一：有关圆的标准方程的求法。
例1】圆的圆心是，半径是。
例2】点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( )
a．(－1,1b．(0,1)
c．(－1)∪(1d．(1，＋∞
例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
a．x2＋(y－2)2＝1b．x2＋(y＋2)2＝1
c．(x－1)2＋(y－3)2＝1d．x2＋(y－3)2＝1
例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点p(0,0)对称的圆的方程为( )
a．(x－2)2＋y2＝5b．x2＋(y－2)2＝5
c．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5d．x2＋(y＋2)2＝5
变式1】已知圆的方程为，则圆心坐标为。
变式2】已知圆c与圆关于直线对称，则圆c的方程为。
变式3】若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
a．(x－3)2＋2＝1b．(x－2)2＋(y－1)2＝1
c．(x－1)2＋(y－3)2＝1d. 2＋(y－1)2＝1
变式4】已知的顶点坐标分别是，，，求外接圆的方程。
方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
考点。二、有关圆的一般方程的求法。
例1】若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则的取值范围是( )
a.＜m＜1 b．m＜或m＞1c．m＜ d．m＞1
例2】将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
a．x＋y－1＝0 b．x＋y＋3＝0c．x－y＋1＝0 d．x－y＋3＝0
例3】圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为___
变式1】已知点是圆上任意一点，p点关于直线的对称点也在圆c上，则实数=
变式2】已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的方程。
变式3】平面直角坐标系中有四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
变式4】如果三角形三个顶点分别是o(0,0)，a(0,15)，b(－8,0)，则它的内切圆方程为。
方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于d，e，f的方程组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化。
考点。三、与圆有关的轨迹问题。
例1】动点p到点a(8,0)的距离是到点b(2,0)的距离的2倍，则动点p的轨迹方程为( )
a．x2＋y2＝32b．x2＋y2＝16
c．(x－1)2＋y2＝16d．x2＋(y－1)2＝16
例2】方程表示的曲线是（）
a. 一条射线 b. 一个圆 c. 两条射线 d. 半个圆。
例3】在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线ad的长度是3，则点a的轨迹方程是（）
ab. cd.
例4】已知一曲线是与两个定点o(0,0)，a(3,0)距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．
变式1】 方程所表示的曲线是（ ）
a. 一个圆 b. 两个圆 c. 一个半圆 d. 两个半圆。
变式2】动点p到点a(8,0)的距离是到点b(2,0)的距离的2倍，则动点p的轨迹方程为( )
a．x2＋y2＝32b．x2＋y2＝16
c．(x－1)2＋y2＝16d．x2＋(y－1)2＝16
变式3】如右图，过点m(－6,0)作圆c：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆c于a、b两点，求线段ab的中点p的轨迹．
变式4】如图，已知点a(－1,0)与点b(1,0)，c是圆x2＋y2＝1上的动点，连接bc并延长至d，使得|cd|＝|bc|，求ac与od的交点p的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题。
例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是___
例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为___
例3】已知点m是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点n为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|mn|的最小值是( )
a. b．1 cd.
例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为___最小值为___
变式1】p(x，y)在圆c：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为___
变式2】由直线y＝x＋2上的点p向圆c：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线pt(t为切点)，当|pt|最小时，点p的坐标是( )
a．(－1,1b．(0,2) c．(－2,0d．(1,3)
变式3】已知两点a(－2,0)，b(0,2)，点c是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△abc面积的最小值是___
变式4】已知圆m过两点c(1，－1)，d(－1,1)，且圆心m在x＋y－2＝0上．
1）求圆m的方程；
2）设p是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，pa、pb是圆m的两条切线，a，b为切点，求四边形pamb面积的最小值．
方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法。
1）形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题。
2） 形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：（其中d为圆心到直线的距离）
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