二次函数专题讲解暨二次不等式解法**。
引言：历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题，所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法，如分类讨论、数形结合、函数方程思想；配方法、换元法、赋值法等。要求学生掌握二次函数的概念，掌握其图象、性质及图象与性质的关系，能灵活地运用“三个二次”的相关知识解题。
充分体现了学生对函数内容的把握程度，是数学高考中一个永恒的话题，真可谓“考你千遍也不厌倦”。形如的函数叫做关于的一元二次函数，其定义域为，图象是一条抛物线，对称轴方程，顶点坐标。学习时应重点掌握下列内容：
合理选择二次函数的解析式。
三种常用表达式：①（定义式）；②顶点式）；③两根式）。
例题1】已知是二次函数，且满足，则 。
解答〗例题2】设二次函数的图象的顶点是，与轴的两个交点之间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
解答〗例题3】设二次函数，方程的两个根满足。
当时，证明：
解答〗熟练掌握二次函数的图象和性质。
例题1】函数是单调函数的充要条件是（ ）
a．b≥0 b．b≤0 c．b>0 d．b<0
分析〗二次函数的单调性受二次项系数（决定左增右减还是左减右增）和对称轴方程（决定单调性分界位置）共同制约。因函数的图象开口方向向上，对称轴方程为，则区间应是的子区间，，故选a。
例题2】已知函数，如果a>b>c，且a+b+c=0，则它的图象可能是（ ）
分析〗即图象开口向上，与轴交点在原点下方，故应选d。
例题3】集合={}求实数的取值集合。
解答〗深刻理解二次函数在区间上的最值问题。
**〗最值问题常与函数求值域问题相联系，则我们先求函数分别在区间上所对应的值域，由配方法化成顶点式，确定图象开口方向及对称轴方程，再结合图象、性质（单调性）作答，如能取到最值，应分别在区间端点或顶点处取得，特别对含参数的二次函数，要讨论区间与对称轴的变化情况。
解答〗注意】二次函数在区间上的最值问题应主要考查函数对称轴与区间的位置关系，若在区间内则该点处必取一个最值，如有另一个最值应在离对称轴最远的区间端点处取得；若在区间外，如有最值应取在区间端点处，最值是最大值还是最小值要结合图象的开口方向及单调性判断。高中阶段我们主要研究：①二次函数在闭区间［m，n］上的最值；②二次函数在区间定（动），对称轴动（定）时的最值。
思考】（以a>0为例）对于二次函数，设令结合函数图象则相应值域（最值）为：
观察值域中最大值、最小值的变化情况易得：求闭区间上二次函数的最值应先看二次项系数，含参数时要讨论，再把对称轴与区间端点及区间中点进行比较分类，如当时，求最小值分3种情况，即在区间端点处讨论；求最大值分2种情况，即在区间中点处讨论。当时规律相反。
例题1】求函数在区间上的最值，并求此时的的值。
解答〗函数图象的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上。
例题2】已知函数在区间[0，1]上的最大值是2，求实数的值。
解答〗例题3】求函数在区间上的最大值。
解答〗透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系。
两条规律：①二次函数的图象与轴的交点的横坐标即二次方程的根，且对称轴方程为；②不等式（或）的解集为图象上方（或下方）的点的横坐标的集合。
注意】当时要转化、化归成时的情况求解。
例题】已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集。
解答〗一种应用：不等式恒成立的条件，令。
例题1】若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围。
解答〗例题2】已知函数对任意，恒成立，求满足的条件。
解答〗由已知只需。
例题3】设，当时恒成立，求实数的取值范围。
解答〗二次不等式解法**：
一、一元二次不等式解法有（1）图象法（穿线法、标根法）；（2）三个二次关系法——①先化标准型；②验证判别式，求方程的根；③结合图象写集合；（3）化一元一次不等式组法（符号法则）。
例题】1. 不等式(x+2)(1-x)>0的解集是（ ）
a． b． d． b． c． b． c．{x|05.不等式的解集是。
练习】3.解不等式。
4.关于x的不等式的解集是 。
三、二次性不等式解集的逆向思维：
题型1：关于x的不等式的解集为r（或写作对任意x∈r恒成立）时的条件是？解集为ф时的条件是？
讨论〗解集为r解集为ф
思考〗时上述情况应满足的条件……
例题】6.问a为何值时，不等式的解是一切实数？
练习】5.不等式对任意x∈r恒成立，求a与m之间的关系。
题型2：已知不等式及其解集利用根与系数的关系求解。
首先明确两个方面的内容，一是根据不等号方向及解集确定二次项系数的符号；二是根据解集的端点值确定对应方程的根。
例题】7.若不等式的解集为，则a+b等于 。
练习】6.已知关于x的不等式的解集是，求不等式的解集。
四、含参数的不等式的解法。
在对一元二次不等式及简单分式不等式解法的研究中，我们最关心的问题是二次项系数的情况（a>0、a=0、a<0）、判别式的情况（△>0、△=0、△<0）及对应方程根的情况（根的个数、根的正负、根的大小等），所以在解决含参数的不等式的求解问题时，也要从这几个方面入手，进行分层讨论。同时等价转化、分解因式、求根公式、韦达定理、数形结合、函数方程等数学思想、公式、定理的运用也很关键。
例题】8.关于x的方程有两异号实根，则a的取值范围是 。
提示：方程根的正负主要由判别式及韦达定理内容来决定，即。
方程有两个正（负）实根；方程有两异号实根。
例题】9.解不等式。
练习】7.解关于x的不等式。
练习】8.解不等式。
正确应用一元二次方程（实系数）的实根分布。
例题】试讨论方程的根的情况。
1）根的个数：b，c满足什么条件时，方程有两个不等实根？相等实根？无实根？
2）根的大小：b，c满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？两个异号根？一根为0？
3）根的范围：b，c满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根大于1，一根小于1？
分析〗对于一元二次方程的根的研究，主要分四个方面。（a）根的虚、实；（b）根的相等与不等；（c）根的正负；（d）根的范围。利用根的判别式，可以解决（a）（b），利用韦达定理，可以解决（c）。
对于（d）现结合问题（3），予以讨论。
解答〗（方法一：方程思想）若令，方程化为：问题（3）转化为方程（*）有两个正根，两个负根，两个异号根。
*）有两个正根的条件是。
*）有两个负根的条件是。
*）有两异号根的条件是。
解答〗（方法二：函数思想）设，结合函数图象如下，则方程f(x)=0的两根都大于1的条件是。
方程f(x)=0的两根都小于1的条件是。
方程f(x)=0的两根一个大于1，一个小于1的条件是。
分析〗两种不同思路，从不同角度（一个是代数法考虑方程判别式与韦达定理，一个是几何法结合图象），对根的分布给予讨论，有异曲同工之妙。
例题】已知关于x的方程分别在下列条件下，求实数a的取值范围。（1）有一个根小于-1，有一个根大于1；（2）两根均在内。
分析〗此题若用方程变换，则很吃力，若用函数思想，则问题变得简明、直观。
解答〗设如图：
为使f(x)=0有一个根小于-1，一个根大于1只需即为所求；
为使f(x)=0的两根均在区间内，只需。
思考】（1）中为什么不考虑δ>0？（2）中为什么考虑四个条件，缺一个行吗？
结论〗一般地，用函数思想结合图象来分析方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布情况要考虑四个必要条件。①二次项系数a，决定图象开口（延伸）方向；②判别式δ=b2-4ac，决定与x轴的位置；③对称轴x=-b/2a，决定图象左右平移；④特殊点（区间端点）所对函数值f(x0)的正负，决定图象开口大小。原则上四者缺一不可，但是如果图象开口向上且有下方部分，则判别式可以省略，例（1）；如果两根的位置已经确定，则对称轴可以不考虑。
上述结论切勿死记硬背，要结合图象具体分析。例（2）条件如果缺少就会出现如下情况：
拓展〗对于只需利用变换即可化归为前面讨论过的问题，由于与同号，故我们有若相应的方程的两个实根为，实数，则方程的根的分布情况可总结如下：
注意】以上结论，一定要结合图象推导，万不可死记硬背。
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