二次函数总结。
一、 二次函数的概念及图象特征。
二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．
与y轴的交点为（c，0），通过配方可写成， 它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。
二、二次函数图像的性质。
当a< 0时⑴开口向下，并且向下无限伸展； 对称轴为，顶点坐标为。
当x＝时，函数有最大值；
当x＜时，y随x的增大而增大；
当x＞时，y随x的增大而减小。
二次函数的图象与各项系数之间的关系。
1. 二次项系数。
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数。
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
在的前提下，结论刚好与上述相反，即。
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
3. 常数项。
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
画二次函数的图像主要确定其开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。
三、 二次函数图象的平移规律
抛物线可由抛物线平移得到。 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况。 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．
1.平移步骤：
（1）将抛物线的解析式转化成顶点式：，确定其顶点坐标是，（2）保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。
图象与轴的交点个数：
1 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离。当时二次函数的顶点在x轴的下方，函数的最小值小于0，当时，二次函数的顶点在x轴的上方，函数最大值大于0.
当时，图象与轴只有一个交点；此时顶点在x轴上，顶点坐标为函数的最值为0.
当时，图象与轴没有交点。
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有，此时函数顶点在轴的上方；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有此时函数顶点在轴的下方；
因此，在求解一元二次方程的解得时候，有时可能会与二次函数联系。
五、二次函数解析式的表示方法。
1. 一般式：（，为常数，）；
2. 顶点式：（，为常数，）；
3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
六、 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。
七、二次函数的应用：
1）根据实际问题，建立二次函数的模型。
2）根据已知模型，利用待定系数法，列出二次函数方程。
3) 通过建立直角坐标系，求出待定系数，解决问题。
二次函数典型例题解析。
关于二次函数的概念。
例1 如果函数是二次函数，那么m的值为。
例2 抛物线的开口方向是对称轴是 ；顶点为 。
关于二次函数的性质及图象。
例3 已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：a___0 ， b___0， c___0 ，a+b+c___0， a-b+c__0，2a+b___0，b2-4ac___0 ，4a+2b+c 0
例4、若为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是。
a． b．
c． d．
例5、在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
确定二次函数的解析式。
例6 已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（ ）
a） （b）
c） （d）
例7 如图：△abc是边长为4的等边三角形，ab在x轴上，点c在第一象限，ac与y轴交于点d，点a的坐标为（-1，0）
1） 求 b、c、d三点的坐标；
2） 抛物线经过b、c、d三点，求它的解析式；
]把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是则原二次函数的解析式为
例9、二次函数关于y轴的对称图象的解析式为关于x轴的对称图象的解析式为
关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为
二次函数交点问题。
例10、已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是
例11. 抛物线与x轴交点为a，b，（a在b左侧）顶点为c.与y轴交于点d
1)求△abc的面积。
2)若在抛物线上有一点m，使△abm的面积是△abc的面积的２倍。求m点坐标。
3）在该抛物线的对称轴上是否存在点q，使得△qac的周长最小？若存在，求出q点的坐标；若不存在，请说明理由。
4)在抛物线上是否存在一点p，使四边形pbac是等腰梯形，若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数的综合应用。
例12.抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
1）求抛物线的解析式；
2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；
例13.如图所示，已知抛物线与轴交于a、b两点，与轴交于点c．
1)求a、b、c三点的坐标．
(2) 过a作ap∥cb交抛物线于点p，求四边形acbp的面积．
例14.在轴上方的抛物线上是否存在一点m，过m作mg轴点g，使以a、m、g三点为顶点的三角形与pca相似．若存在，请求出m点的坐标；否则，请说明理由．
例15.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的**调查，平均每天销售90箱，**每提高1元，平均每天少销售3箱．
1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）
例16、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与**，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的。
单位：万元）
1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
例17、.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带abcd，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的bc边长为xm，绿化带的面积为ym.
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
例18.如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的两边分别在x轴和y轴上，，现有两动点p、q分别从o、c同时出发，p**段oa上沿oa方向以每秒cm的速度匀速运动，q**段co上沿co方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
1）用t的式子表示△opq的面积s；
2）求证：四边形opbq的面积是。
一个定值，并求出这个定值；
3）当矩形efpq的面积最大时，该矩形efpq以每秒1个单位的速度沿射线qc匀速运动(当点q与点c重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形effq与△abc重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式．
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