数列放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩。
例1.(1)求的值； (2)求证：.
解析：(1)因为，所以。
(2)因为，所以。
奇巧积累：(1) (2)
例2.(1)求证：
2)求证：
3)求证：
4) 求证：
解析：(1)因为，所以
3)先运用分式放缩法证明出，再结合进行裂项，最后就可以得到答案。
(4)首先，所以容易经过裂项得到。
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以。
例3.求证：
解析：一方面：因为，所以。
另一方面：
当时， ,当时， ,当时， ,所以综上有。
例4.(2008年全国一卷) 设函数。数列满足。设，整数。证明：.
解析：由数学归纳法可以证明是递增数列，故存在正整数，使，则。
否则若，则由知。
,因为，于是。
例5.已知，求证：.
解析：首先可以证明：
所以要证。只要证：
故只要证，即等价于。
即等价于。而正是成立的，所以原命题成立。
例6.已知， ,求证：.
解析： 所以。
从而。例7.已知， ,求证：
证明：,因为，所以。
所以。二、函数放缩。
例8.求证：.
解析：先构造函数有，从而。
因为 所以。
例9.求证：(1)
解析：构造函数，得到，再进行裂项，求和后可以得到答案。
函数构造形式：,例10.求证：
解析：提示：
函数构造形式：
当然本题的证明还可以运用积分放缩。
如图，取函数，首先：,从而，
取有， ,所以有， ,相加后可以得到：
另一方面，从而有取有， ,所以有，所以综上有。
例11.求证：和。
解析：构造函数后即可证明。
例12.求证：
解析：,叠加之后就可以得到答案。
函数构造形式： (加强命题)
例13.证明：
解析：构造函数，求导，可以得到：
令有，令有，所以，所以，令有，
所以，所以。
例14. 已知证明。
解析：,然后两边取自然对数，可以得到。
然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：
于是， 即。
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
即。例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数，若在上恒成立。 (求证：函数上是增函数；
当；已知不等式时恒成立，求证：
解析：()所以函数上是增函数。
()因为上是增函数，所以。
两式相加后可以得到。
相加后可以得到：
所以令，有
所以。(方法二)
所以。又，所以。
例16.(2008年福州市质检)已知函数若。
解析：设函数。
函数）上单调递增，在上单调递减。
∴的最小值为，即总有。而。即。
令则。例17. ⑴设函数，求的最小值；
设正数满足，证明。
解析：对函数求导数：
于是。当在区间是减函数，当在区间是增函数。
所以时取得最小值，ⅱ）证法一：用数学归纳法证明。
i）当n=1时，由（ⅰ）知命题成立。
ii）假定当时命题成立，即若正数，则。
当时，若正数令。
则为正数，且由归纳假定知。
同理，由可得。
综合①、②两式。
即当时命题也成立。
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立。
证法二：令函数。
利用（ⅰ）知，当。
对任意。下面用数学归纳法证明结论。
i）当n=1时，由（i）知命题成立。
ii）设当n=k时命题成立，即若正数。
由①得到。由归纳法假设。
即当时命题也成立。
所以对一切正整数n命题成立。
例18. 设关于x的方程有两个实根，且，定义函数若为正实数，证明不等式：.
解析： 当。
上为增函数。
由可知同理可得。
又由（ⅰ）知。
所以。三、分式放缩。
姐妹不等式：和记忆口诀”小者小，大者大”
解释：看b,若b小，则不等号是小于号，反之。
例19. 姐妹不等式：和也可以表示成为。
和。解析： 利用假分数的一个性质可得。
即。例20.证明：
解析： 运用两次次分式放缩：
(加1)加2)
相乘，可以得到：
所以有。四、分类放缩。
例21.求证：
解析： 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为。点的横坐标为，.
1)证明》4，; 2)证明有，使得对都有<.
解析：(1) 依题设有：，由得：
又直线在轴上的截距为满足。
显然，对于，有。
2)证明：设，则。
设，则当时，所以，取，对都有：
故有《成立。
例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数a，使得对于任意正整数都有？
并证明你的结论。
解析：首先求出，∵,
故当时， ,因此，对任何常数a，设是不小于a的最小正整数，则当时，必有。
故不存在常数a使对所有的正整数恒成立。
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为，设内整数坐标点的个数为。设，当时，求证：.
解析：容易得到，所以，要证只要证，因为。
所以原命题得证。
五、迭代放缩。
例25. 已知，求证：当时，
解析：通过迭代的方法得到，然后相加就可以得到结论。
例26. 设，求证：对任意的正整数k,若k≥n恒有：|sn+k－sn|<
解析： 又所以。
六、借助数列递推关系。
例27.求证：
解析： 设则。
从而，相加后就可以得到。
所以。例28. 求证：
解析： 设则。
从而，相加后就可以得到。
例29. 若，求证：
解析： 所以就有。
七、分类讨论。
例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数。
有。解析：容易得到，由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时。
（减项放缩），于是。
当且为偶数时。
当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。
八、线性规划型放缩。
例31. 设函数。若对一切，，求的最大值。
解析：由知即
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为。
因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件，由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩。
例32.设求证。
解析： 此数列的通项为，即。
注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里。
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析： 例34.已知为正数，且，试证：对每一个，.
解析： 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.
例35.求证。
解析： 不等式左=，原结论成立。
例36.已知，求证：
解析： 经过倒序相乘，就可以得到。
例37.已知，求证：
解析： 其中：,因为。
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