经典练习题。
相似三角形（附答案）
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△abc中，de∥bc，ef∥ab，求证：△ade∽△efc．
2．如图，梯形abcd中，ab∥cd，点f在bc上，连df与ab的延长线交于点g．
1）求证：△cdf∽△bgf；
2）当点f是bc的中点时，过f作ef∥cd交ad于点e，若ab=6cm，ef=4cm，求cd的长．
3．如图，点d，e在bc上，且fd∥ab，fe∥ac．
求证：△abc∽△fde．
4．如图，已知e是矩形abcd的边cd上一点，bf⊥ae于f，试说明：△abf∽△ead．
5．已知：如图①所示，在△abc和△ade中，ab=ac，ad=ae，∠bac=∠dae，且点b，a，d在一条直线上，连接be，cd，m，n分别为be，cd的中点．
1）求证：①be=cd；②△amn是等腰三角形；
2）在图①的基础上，将△ade绕点a按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ed交线段bc于点p．求证：△pbd∽△amn．
6．如图，e是abcd的边ba延长线上一点，连接ec，交ad于点f．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．
7．如图，在4×3的正方形方格中，△abc和△def的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
1）填空：∠abcbc
2）判断△abc与△dec是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形abcd的边长ab=3cm，bc=6cm．某一时刻，动点m从a点出发沿ab方向以1cm/s的速度向b点匀速运动；同时，动点n从d点出发沿da方向以2cm/s的速度向a点匀速运动，问：
1）经过多少时间，△amn的面积等于矩形abcd面积的？
2）是否存在时刻t，使以a，m，n为顶点的三角形与△acd相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，在梯形abcd中，若ab∥dc，ad=bc，对角线bd、ac把梯形分成了四个小三角形．
1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）
2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
10．如图△abc中，d为ac上一点，cd=2da，∠bac=45°，∠bdc=60°，ce⊥bd于e，连接ae．
1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
3）求△bec与△bea的面积之比．
11．如图，在△abc中，ab=ac=a，m为底边bc上的任意一点，过点m分别作ab、ac的平行线交ac于p，交ab于q．
1）求四边形aqmp的周长；
2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
3）m位于bc的什么位置时，四边形aqmp为菱形并证明你的结论．
12．已知：p是正方形abcd的边bc上的点，且bp=3pc，m是cd的中点，试说明：△adm∽△mcp．
13．如图，已知梯形abcd中，ad∥bc，ad=2，ab=bc=8，cd=10．
1）求梯形abcd的面积s；
2）动点p从点b出发，以1cm/s的速度，沿badc方向，向点c运动；动点q从点c出发，以1cm/s的速度，沿cda方向，向点a运动，过点q作qe⊥bc于点e．若p、q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
当点p在ba上运动时，是否存在这样的t，使得直线pq将梯形abcd的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
在运动过程中，是否存在这样的t，使得以p、a、d为顶点的三角形与△cqe相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
在运动过程中，是否存在这样的t，使得以p、d、q为顶点的三角形恰好是以dq为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
14．已知矩形abcd，长bc=12cm，宽ab=8cm，p、q分别是ab、bc上运动的两点．若p自点a出发，以1cm/s的速度沿ab方向运动，同时，q自点b出发以2cm/s的速度沿bc方向运动，问经过几秒，以p、b、q为顶点的三角形与△bdc相似？
15．如图，在△abc中，ab=10cm，bc=20cm，点p从点a开始沿ab边向b点以2cm/s的速度移动，点q从点b开始沿bc边向点c以4cm/s的速度移动，如果p、q分别从a、b同时出发，问经过几秒钟，△pbq与△abc相似．
16．如图，∠acb=∠adc=90°，ac=，ad=2．问当ab的长为多少时，这两个直角三角形相似．
17．已知，如图，在边长为a的正方形abcd中，m是ad的中点，能否在边ab上找一点n（不含a、b），使得△cdm与△man相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
18．如图在△abc中，∠c=90°，bc=8cm，ac=6cm，点q从b出发，沿bc方向以2cm/s的速度移动，点p从c出发，沿ca方向以1cm/s的速度移动．若q、p分别同时从b、c出发，试**经过多少秒后，以点c、p、q为顶点的三角形与△cba相似？
19．如图所示，梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，ab=7，ad=2，bc=3，试在腰ab上确定点p的位置，使得以p，a，d为顶点的三角形与以p，b，c为顶点的三角形相似．
20．△abc和△def是两个等腰直角三角形，∠a=∠d=90°，△def的顶点e位于边bc的中点上．
1）如图1，设de与ab交于点m，ef与ac交于点n，求证：△bem∽△cne；
2）如图2，将△def绕点e旋转，使得de与ba的延长线交于点m，ef与ac交于点n，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
21．如图，在矩形abcd中，ab=15cm，bc=10cm，点p沿ab边从点a开始向b以2cm/s的速度移动；点q沿da边从点d开始向点a以1cm/s的速度移动．如果p、q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点q、a、p为顶点的三角形与△abc相似．
22．如图，路灯（p点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（o点）20米的a点，沿oa所在的直线行走14米到b点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
1）所需的测量工具是。
2）请在下图中画出测量示意图；
3）设树高ab的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．
24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：
1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
2）如图3，设太阳光线nh与⊙o相切于点m．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段ng的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）
25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离ec=8.7m，窗口高ab=1.8m，求窗口底边离地面的高bc．
26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高ab=h，灯柱的高op=o′p′=l，两灯柱之间的距离oo′=m．
1）若李华距灯柱op的水平距离oa=a，求他影子ac的长；
2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（da+ac）是否是定值请说明理由；
3）若李华在点a朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．
27．如图①，分别以直角三角形abc三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用s1，s2，s3表示，则不难证明s1=s2+s3．
1）如图②，分别以直角三角形abc三边为边向外作三个正方形，其面积分别用s1，s2，s3表示，那么s1，s2，s3之间有什么关系；（不必证明）
2）如图③，分别以直角三角形abc三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用s1、s2、s3表示，请你确定s1，s2，s3之间的关系并加以证明；
3）若分别以直角三角形abc三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用s1，s2，s3表示，为使s1，s2，s3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
28．已知：如图，△abc∽△ade，ab=15，ac=9，bd=5．求ae．
29．已知：如图rt△abc∽rt△bdc，若ab=3，ac=4．
1）求bd、cd的长；
2）过b作be⊥dc于e，求be的长．
30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；
2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
参***与试题解析。
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△abc中，de∥bc，ef∥ab，求证：△ade∽△efc．
2．如图，梯形abcd中，ab∥cd，点f在bc上，连df与ab的延长线交于点g．
1）求证：△cdf∽△bgf；