典型例题一。
例1 解不等式。
分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
解：令，∴，令，∴，如图所示．[**：z。xx。
1）当时原不等式化为∴与条件矛盾，无解．
2）当时，原不等式化为．∴，故．
3）当时，原不等式化为．∴，故．综上，原不等式的解为．
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
典型例题二。
例2 求使不等式有解的的取值范围．
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法一：将数轴分为三个区间。
当时，原不等式变为有解的条件为，即；
当时，得，即；
当时，得，即，有解的条件为∴．
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为．
解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为p，a，b，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是p到a、b的距离之和小于．
因为，故数轴上任一点到a、b距离之和大于（等于1），即，故当时，有解．
典型例题三。
例3 已知，求证．
分析：根据条件凑．
证明： ．说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
典型例题四。
例4 求证
分析：使用分析法。
证明 ∵，只需证明，两边同除，即只需证明[**：z§xx§
即当时，；当时，原不等式显然成立．∴原不等式成立．
说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：
1）如果，则，原不等式显然成立．
2）如果，则，利用不等式的传递性知，，∴原不等式也成立．
典型例题五。
例5 求证．
分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．
证明：设．定义域为｛，且｝，分别在区间，区间上是增函数．[**：z&xx&
又，∴即。原不等式成立．
说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：，∴
错误在不能保证，．绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．
型例题六。例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围．
分析：分别求出集合、，然后再分类讨论．
解：解不等式，，∴
解不等式，．
当时（即时），得．
当时（即时），得．
当时，要满足，必须故；
当时，要满足，必须 ∴．
所以的取值范围是．
说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．
典型例题七。
例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：．
分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决．
证明：∵∴说明：是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误．
正余弦函数的值域，即，，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．
典型例题八。
例8 已知，，求证：
分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换．
证明：∵，即．
说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．
典型例题九。
例9 不等式组的解集是（ ）
ab． cd．
分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，∴，又，∴，解原不等式组实为解不等式（）．
解法一：不等式两边平方得：．，即，，又．∴ 选c．
解法二：∵，可分成两种情况讨论：
1)当时，不等式组化为（）．解得．
2)当时，不等式组可化为（），解得．
综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选c．
说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．
典型例题十。
例10 设二次函数(，且)，已知，，，当时，证明．
分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．
证明：∵，又∵，∴又，．而的图像为开口向上的抛物线，且，，∴的最大值应在，或处取得．∵，
说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，，的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最大值．
高中理科数学解题方法篇 不等式2
不等式。发挥经典价值提高复习效率。何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验 每个经典题目，总是蕴含着某种重要的数学思想和方法 每个经典题目，总有其独特的教育价值和教学功能 每个经典题目，都能穿越时间的深度和厚度而又最终...
不等式解题方法
一 活用倒数法则巧作不等变换 不等式的性质和应用。不等式的性质和运算法则有许多，如对称性，传递性，可加性等。但灵活运用倒数法则对解题，尤其是不等变换有很大的优越性。倒数法则 若ab 0,则a b与 等价。此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如 1998年高考题改编 解不等式loga 1 1....
高考数学不等式解题方法技巧
不等式应试技巧总结。1 不等式的性质 1 同向不等式可以相加 异向不等式可以相减 若，则 若，则 但异向不等式不可以相加 同向不等式不可以相减 2 左右同正不等式 同向的不等式可以相乘，但不能相除 异向不等式可以相除，但不能相乘 若，则 若，则 3 左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方 若，则或 ...