中点的妙用。
1、如图1所示，在△abc中，ab=ac=5，bc=6，点m为bc中点，mn⊥ac于点n，则mn等于（ ）三线合一)
a． b． c． d．
2、如图，在ｒｔ⊿abc中，∠a=90°,ac=ab,m、n分别在ac、ab上。且an=为斜边bc的中点。试判断△omn的形状，并说明理由。( 斜边上的中线，等于斜边的一半)
3、如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ）斜边上的中线，等于斜边的一半)
a. 2b. 4－
cd. 4、如图，已知四边形abcd的对角线ac与bd相交于点o，且ac=bd，m、n分别是ab、cd的中点，mn分别交bd、ac于点e、f.你能说出oe与of的大小关系并加以证明吗？
(中位线)
5、如图3所示，在三角形abc中，ad是三角形abc中∠bac的角平分线，bd⊥ad，点d是垂足，点e是边bc的中点，如果ab=6,ac=14，求de的长（利用等腰三角形的三线合一找中点）
6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，ab∥cd，bc∥ad ，de⊥be ，df=ef，甲从b出发，沿着ba、ad、df的方向运动，乙b出发，沿着bc、ce、ef的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从b出发，则谁先到达f点？
7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形abcd中，cd∥ab，对角线ac、bd相交于点o，，点s、p、q分别是do、ao、bc的中点。
求证：△spq是等边三角形。
四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形abcd中，∠a=90°,ad//bc,ad=1,bc=2,cd=3,e为ab中点，求证：de⊥ec
9、如图甲，在正方形abcd和正方形cgef（cg＞bc）中，点b、c、g在同一直线上，m是ae的中点，（1）**线段md、mf的位置及数量关系，并证明；
2）将图甲中的正方形cgef绕点c顺时针旋转，使正方形cgef的对角线ce恰好与正方形abcd的边bc在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
五、有中点时常构造垂直平分线。
10、如图所示，在△abc中，ad是bc边上中线，∠c=2∠
求证：△adc为等边三角形。
11、如图所示，已知梯形abcd，ad∥bc，点e是cd的中点，连接ae 、 be，求证：s△abe=s四边形abcd。
12、如图，m是abcd中ab边的中点。cm交bd于点e，图中阴影部分面积与abcd面积之比为。
13、如图所示，点e、f分别是矩形abcd的边ab、bc的中点，连af、ce交于点g，则等于：a、 b、 c、 d、
七、倍长中线。
14、如图，△abc中，d为bc中点，ab=5，ad=6，ac=13。求证：ab⊥ad
15、如图，点d、e三等分△abc的bc边，求证：ab+ac>ad+ae
16、如图，d为线段ab的中点，在ab上取异于d的点c，分别以ac、bc为斜边在ab同侧作等腰直角三角形ace与bcf，连结de、df、ef，求证：△def为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
7、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是___
18、半径为的圆o中有一点p，op=4，则过p的最短弦长。
最长弦是。19、如图，在圆o中，ab、ac为互相垂直且相等的两条弦，od⊥ab，oe⊥ac，垂足分别为d、e，若ac=2cm，则圆o的半径为cm。
20、如图，在⊙o中，直径ab和弦cd的长分别为10 cm和8 cm，则a、b两点到直线cd的距离之和是___
21、如图，⊙o的直径ab和弦cd相交于e，若ae＝2cm，be＝6cm，∠cea＝300，求：cd的长；
22、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
倍长中线：23. 已知：如图①，正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作ef⊥bd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg．
1）求证：eg=cg；
2）将图①中△bef绕b点逆时针旋转45，如图②所示，取df中点g，连接eg，cg．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
3）将图①中△bef绕b点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
24．已知：△abc和△ade都是等腰直角三角形，∠abc=∠ade=90°，点m是ce的中点，连接bm.
（1）如图①，点d在ab上，连接dm，并延长dm交bc于点n，可**得出bd与bm的数量关系为。
（2）如图②，点d不在ab上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。
答案：/5 23、b
6、因为ab//cd, bc//ad 所以abcd是平行四边形所以ba=cd, bc=ad.
又因为de垂直be, df=ef 所以af是de的中垂线（菱形对角线交点在ac上）
所以dc=ce, df=ef. 所以有ba+ad+df=bc+ce+ef(等量加等量)
即他们同时到达。
7、证明：连接cs、bp；
因为等腰梯形abcd,cd//ab, 所以oc=od,oa=ob；
又因为∠acd=60°, 所以三角形cod、aob为等边三角形。
在等边三角形cod、aob中， 因为s、p分别为od、oa中点， 所以cs垂直于bd,bp垂直于ac；
在直角三角形csb中，因为q是bc中点， 所以qs=1/2bc=1/ad；
又在直角三角形bcp中，因为q是bc中点， 所以qp=1/2bc=1/ad；所以qs=qp=1/2ad；
又因在三角形aod中，p、s分别为oa、od的中点， 所以ps=1/2ad；
所以qs=qp=ps
即△pqs是等边三角形。
9、：(1)md=mf且md⊥mf，理由如下：
如图1：延长dm交ef于点n．
在正方形abcd和正方形cgef中：ad=cd，fc=fe ∠adc=∠cfe=90°
ad∥ef ∴∠1=∠2 ∵m是ae的中点 ∴am=em ∴△adm≌△enm(asa)
ad=en dm=nm ∵ad=cd ∴cd=en ∴fd=fn
dm=nm ∴md⊥mf，∠dfm=∠dfn=45° ∴dfm=∠fdm=45° ∴md=mf
2)md⊥mf且md=mf．理由如下：如图2：延长dm交ge于点n，连接fd，fn △adm≌△enm(asa) △fcd≌△fen(sas)
3)（1）中的两个结论不变．理由如下：如图3：延长dm交ce于n，连接fd，fn．在△adm和△enm中：
△adm≌△enm(asa)
ad=en，dm=nm
ad=cd ∴cd=en
在△fdc和△fne中。
△fdc≌△fne(sas)
∠5=∠6，fd=fn
∠cfe=90° ∴6+∠cfn=90° ∴5+∠cfn=90°
即∠dfn=90° ∵dm=nm ∴fm⊥dm，∠dfm=∠dfn=45°
∠mdf=∠dfm=45° ∴md=mf
10、∵bc =2ac , ad是bc边的中线。
ac=bd=cd
在cb的延长线上截取be=ab,连接ae 则∠e=∠cae
∠c=∠e+∠bae=2∠e ∠c=2∠b ∴∠e=∠b ∴ae=ab
又∵ce=ac=cd=bd ∴⊿ace≌⊿adb（sas）∴ac=ad ∴ac=cd=ad 即⊿abd是等边三角形。
12、解；因为abcd是平行四边形所以ab=dc ab平行dc bm/dc=me/ec
因为m是ab的中点所以am=bm=1/2ab 所以mb/dc=1/2
所以me/ec=be/de=1/2 所以de/db=ec/cm=2/3 所以s三角形dme=2/3s三角形dmb
s三角形bec=2/3s三角形mbc
s三角形dmb=s三角形mbc=1/2s三角形adb=1/4s平行四边形abcd
因为阴影部分的面积=s三角形dme+s三角形bec=2*2/3*1/4s平行四边形=1/3平行四边形的面积。
所以图中阴影部分的面积：平行四边形abcd的面积=1:3
15、延长ad至f使df=ad 易得四边形abfe是平行四边形。
ae+ef=ae+ab ae+ef>2ad 所以有ae+ab>2ad
同理ad+ac>2ae ab+ac+ad+ae>2ad+2ae 所以ab+ac>ad+ae
23、（1）证明：在rt△fcd中，∵g为df的中点， ∴cg=1/2fd，同理，在rt△def中， eg=1/2fd， ∴cg=eg．
2）解：（1）中结论仍然成立，即eg=cg．
证法一：连接ag，过g点作mn⊥ad于m，与ef的延长线交于n点．
在△dag与△dcg中，∵ad=cd，∠adg=∠cdg，dg=dg，△dag≌△dcg， ∴ag=cg；
在△dmg与△fng中，∠dgm=∠fgn，fg=dg，∠mdg=∠nfg，∴△dmg≌△fng， ∴mg=ng；
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理在椭圆 0 中，若直线与椭圆相交于m n两点，点是弦mn的中点，弦mn所在的直线的斜率为，则。证明 设m n两点的坐标分别为 则有。得。又。同理可证，在椭圆 0 中，若直线与椭圆相交于m n两点，点是弦mn的中点，弦mn所在的直线的斜率为，则。例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点a b，o为...