相似三角形（二）
知识考点：本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用。
精典例题：例1】如图，在△abc中，ab＝14cm，，de∥bc，cd⊥ab，cd＝12cm，求△ade的面积和周长。
分析：由ab＝14cm，cd＝12cm得＝84，再由de∥bc可得△abc∽△ade，有可求得，利用勾股定理求出bc、ac，再用相似三角形的性质可得△ade的周长。
答案：△ade的面积为cm2，周长为15 cm。
例2】如图，正方形demf内接于△abc，若，，求。
分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过a点作aq⊥bc于q，交de于p，利用可得ap及aq的长，再由△ade∽△abc求出bc，从而求得。
解：∵正方形的面积为4，∴de＝mf＝2。过a点作aq⊥bc于q，交de于p
∵，∴ap＝1
∵de∥bc，∴△ade∽△abc，∴，即。
∴bc＝6，故＝9
变式1：如图，已知菱形amnp内接于△abc，m、n、p分别在ab、bc、ac上，如果ab＝21 cm，ca＝15 cm，求菱形amnp的周长。
答案：35 cm
变式2：如图，在△abc中，有矩形defg，g、f在bc上，d、e分别在ab、ac上，ah⊥bc交de于m，dg∶de＝1∶2，bc＝12 cm，ah＝8 cm，求矩形的各边长。
答案： cm， cm
例3】如图，已知p为△abc内一点，过p点分别作直线平行于△abc的各边，形成小三角形的面积、、，分别为，求△abc的面积。
解：设mp＝，rt＝，pn＝，由于、、都相似于△abc，设△abc的面积为，ab＝，则有，，，三式相加得：，故。
探索与创新：
问题一】如上图，在四边形abcd中，ad∥bc，ad＝，bc＝，过bd上一点p作mn∥bc交ab、dc于m、n，若am∶mb＝∶。
1）计算pm、pn的长；
2）当∶＝∶时，pm与pn有怎样的关系？
3）在什么条件下才能得到mn＝。
略解：（1）∵mn∥bc，ad∥bc，∴△bpm∽△bda，△dpn∽△dbc
**：学，科，网]
又∵am∶mb＝∶，bm∶ab＝∶
am∶ab＝∶
∴当，即∶＝∶时，才有pm＝pn；
3）∵mn＝pm＋pn＝，由可得：
从而或。故当，且四边形abcd为平行四边形时，mn＝或且mn为梯形（或平行四边形）的中位线时，mn＝。
问题二】如图，已知梯形abcd中，ad∥bc，ad、bc的长度分别为、，梯形abcd的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线ef（点e、f分别在ab、cd上），使ef把梯形abcd分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，ef的长度如何求？试求出ef的长度。
解：延长ba、cd相交于点o，设ef＝，△oad的面积为，梯形abcd的面积为，ad∥ef，∴△oef∽△oad[**：学，科，网z,x,x,k]，即。
整理得………
同理△obc∽△oad，整理得………由①②消去得：
即，∵，即ef＝
跟踪训练：一、填空题：
1、如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ac、bd交于o点，ad∶bc＝3∶5，则ao∶oc
2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为。
3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是∶，这两个三角形的面积分别是。
4、如图，△abc中，de∥fg∥bc，如果ad∶df∶fb＝1∶2∶3，则。
二、选择题：
1、如图，在正方形abcd中，点e在ab边上，且ae∶eb＝2∶1，af⊥de于g交bc于f，则△aeg的面积与四边形begf的面积之比为（ ）**。
a、1∶2b、1∶4c、4∶9d、2∶3
2、如图，已知de∥bc，cd和be相交于点o，∶＝4∶9，则ae∶ec为（ ）**。
a、2∶1b、2∶3c、4∶9d、5∶4
3、在△abc中，d为ac边上一点，∠dbc＝∠a，bc＝，ac＝3，则cd的长为（ ）
a、1bc、2d、
三、解答题：
1、如图已知，在△abc中，ab＝5，ac＝6，bc＝7，点d、e分别在ab、ac上，de∥bc，且△ade的周长与四边形bced的周长相等，求de的长。
2、如图，等腰直角△abc中，∠bac＝900，d、e分别为ab、ac上一点，且bd＝ab，ae＝ac，。求证：∠ade＝∠ebc。
3、已知如图，正方形abcd中，ab＝2，e是bc的中点，df⊥ae，f为垂足，求△dfa的面积和四边形cdfe的面积。
4、在△abc中，ab＝8cm，bc＝16 cm，点p从a点开始沿ab边向点b以2 cm／秒的速度移动，点q从b点开始沿bc边向点c以4 cm／秒的速度移动，如果p、q分别从a、b两点同时出发，经过几秒之后，△pbq与△abc相似？这样的三角形有几个。
跟踪训练参***。
一、填空题：
cm2，27 cm∶27；[**：学§科§网]
二、选择题：cac
三、解答题：
2、提示：过e点作ef⊥bc于h，证△dae∽△bhe较容易；
秒或0.8秒，这样的三角形有两个。
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