2023年中考数学专题复习。
与圆有关的证明与计算）
复习方法指导：
1、判断一条直线是圆的切线的方法有三种：①直线与圆只有一个交点；②圆心到等于即证d=r）
切线的判定定理，即：经过 ，并且的直线是圆的切线。（即证垂直）
2、证切线常见的辅助线添法即证法：
若切不点明确，则作。
若切点明确，则连。
3.圆中的有关计算：常与锐角三角函数、勾股定理、相似等知识相连。
4.圆中的知识与有关的证明、计算。
1)垂径定理：主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等。
2)三者之间的关系定理： 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等。
3)圆周角性质定理及其推轮： 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等。
4)切线的性质定理：主要是用来证明——垂直关系。
5)切线的判定定理： 主要是用来证明直线是圆的切线。
6)切线长定理： 线段相等、垂直关系、角相等。
5.与圆有关的计算常用的解题思想：
(1)构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长即知二推四）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径、弓高(知二推二)；④构造勾股定理模型（已知线段长度）；⑤构造三角函数(已知有角度的情况）⑥找不到，找相似。
(2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
18．（3分）（2014苏州）如图，直线l与半径为4的⊙o相切于点a，p是⊙o上的一个动点（不与点a重合），过点p作pb⊥l，垂足为b，连接pa．设pa=x，pb=y，则（x﹣y）的最大值是 ．
23．（2010湖北孝感，23，10分）如图，⊙o是边长为6的等边△abc的外接圆，点d在弧bc上运动（不与b，c重合），过点d作de∥bc，de交ac的延长线于点e，连接ad，cd．
1）在图1中，当ad=，求ae的长；
2）当点d为的中点时：
de与⊙o的位置关系是求△adc的内切圆半径r．
23、（2011孝感）如图，等边△abc内接于⊙o，p是上任一点（点p不与点a、b重合），连ap、bp，过点c作cm∥bp交pa的延长线于点m．
1）填空：∠apc= 度，∠bpc= 度；
2）求证：△acm≌△bcp；
3）若pa=1，pb=2，求梯形pbcm的面积．
22．(2012孝感10分)如图，ab是⊙o的直径，am、bn分别与⊙o相切于点a、b，cd交am、bn于点d、c，do平分∠adc．
1)求证：cd是⊙o的切线；
2)若ad＝4，bc＝9，求⊙o的半径r．
23．（2013孝感23，10分）如图，△abc内接于⊙o，∠b=60°，cd是⊙o的直径，点p是cd延长线上的一点，且ap=ac．
1）求证：pa是⊙o的切线；
2）若pd=，求⊙o的直径．
24．（2014孝感）（本题满分10分）
如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分∠，交于点，连接。
1）求证：平分∠；（3分）
2）求证：△是等腰三角形；（3分）
3）若， ，求线段的长．（4分）
21．（8分）（2014宜昌）已知：如图，四边形abcd为平行四边形，以cd为直径作⊙o，⊙o与边bc相交于点f，⊙o的切线de与边ab相交于点e，且ae=3eb．
1）求证：△ade∽△cdf；
2）当cf：fb=1：2时，求⊙o与abcd的面积之比．
25．（10分）（2014襄阳）如图，a，p，b，c是⊙o上的四个点，∠apc=∠bpc=60°，过点a作⊙o的切线交bp的延长线于点d．
1）求证：△adp∽△bda；
2）试**线段pa，pb，pc之间的数量关系，并证明你的结论；
3）若ad=2，pd=1，求线段bc的长．
22．（2014鄂州市）（本题满分9分）如图，以ab为直径的⊙o交∠bad的角平分。
线于c，过c作cd⊥ad于d，交ab的延长线于e.
（1）（5分）求证：cd为⊙o的切线。
（2）（4分）若，求cos∠dab.
第22题图。
20．（7分）（2014黄冈）如图，在rt△abc中，∠acb=90°，以ac为直径的⊙o与ab边交于点d，过点d的切线，交bc于点e．
1）求证：eb=ec；
2）若以点o、d、e、c为顶点的四边形是正方形，试判断△abc的形状，并说明理由．
19．（7分）(2023年湖北黄石)如图，a、b是圆o上的两点，∠aob=120°，c是ab弧的中点．
1）求证：ab平分∠oac；
2）延长oa至p使得oa=ap，连接pc，若圆o的半径r=1，求pc的长．
22．（8分）（2014仙桃）如图，已知bc是以ab为直径的⊙的切线，且bc=ab，连接oc交⊙o于点d，延长ad交bc于点e，f为be上一点，且df=fb．
1）求证：df是⊙o的切线；
2）若be=2，求⊙o的半径．
24．（10分）（2014**）如图1，ab为半圆的直径，o为圆心，c为圆弧上一点，ad垂直于过c点的切线，垂足为d，ab的延长线交直线cd于点e．
1）求证：ac平分∠dab；
2）若ab=4，b为oe的中点，cf⊥ab，垂足为点f，求cf的长；
3）如图2，连接od交ac于点g，若=，求sin∠e的值．
22．（8分）（2014随州）如图，⊙o中，点c为的中点，∠acb=120°，oc的延长线与ad交于点d，且∠d=∠b．
1）求证：ad与⊙o相切；
2）若点c到弦ab的距离为2，求弦ab的长．
22．（8分）（2014武汉）如图，ab是⊙o的直径，c，p是上两点，ab=13，ac=5．
1）如图（1），若点p是的中点，求pa的长；
2）如图（2），若点p是的中点，求pa的长．
21．（2014咸宁市）（本题满分9分）
如图，已知ab是⊙o的直径，直线cd与⊙o相切于点c，ad⊥cd于点d.
1) 求证： ac平分∠dab；
2) 若点为的中点，，ac=8，求ab和ce的长。
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