圆形。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
圆部分。规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题。
例：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d二点。求证：ac = bd
证明：过o作oe⊥ab于e
o为圆心，oe⊥ab
ae = be ce = de
ac = bd
练习：如图，ab为⊙o的弦，p是ab上的一点，ab = 10cm，pa = 4cm.求⊙o的半径。
规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角。
例：如图，已知ab是⊙o的直径，m、n分别是ao、bo的中点，cm⊥ab,dn⊥ab,求证：
证明：（一）连结oc、od
m、n分别是ao、bo的中点。
om = ao、on = bo
oa = ob
om = on
cm⊥oa、dn⊥ob、oc = od
rt△com≌rt△don
∠coa = dob
二）连结ac、oc、od、bd
m、n分别是ao、bo的中点。
ac = oc bd = od
oc = od
ac = bd
规律90.有弦中点时常连弦心距。
例：如图，已知m、n分别是⊙o 的弦ab、cd的中点，ab = cd，求证：∠amn = cnm
证明：连结om、on
o为圆心，m、n分别是弦ab、cd的中点。
om⊥ab on⊥cd
ab = cd
om = on
∠omn = onm
∠amn = 90o－∠omn
cnm = 90o－∠onm
∠amn =∠cnm
规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。
例：如图，已知⊙o1与⊙o2为等圆，p为o1、o2的中点，过p的直线分别交⊙o1、⊙o2于a、c、d、b.求证：ac = bd
证明：过o1作o1m⊥ab于m,过o2作o2n⊥ab于n，则o1m∥o2n
o1p = o2p
o1m = o2n
ac = bd
规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
连结过弧中点的半径。
连结等弧所对的弦。
连结等弧所对的圆心角。
例：如图，已知d、e分别为半径oa、ob的中点，c为弧ab的中点，求证：cd = ce
证明：连结oc
c为弧ab的中点。
∠aoc =∠boc
d、e分别为oa、ob的中点，且ao = bo
od = oe = ao = bo
又∵oc = oc
△odc≌△oec
cd = ce
规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半。
规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半。
规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题。
例：如图，ab为⊙o的直径，ac为弦，p为ac延长线上一点，且ac = pc,pb的延长线交⊙o于d，求证：ac = dc
证明：连结ad
ab为⊙o的直径。
∠adp = 90o
ac = pc
ac = cd =ap
练习：如图，在rt△abc中，∠bca = 90o ,以bc为直径的⊙o交ab于e，d为ac中点，连结bd交⊙o于f.求证：
规律96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。
规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：
作等弧所对的弦。
作等弧所对的圆心角。
作等弧所对的圆周角。
练习：1.如图，⊙o的直径ab垂直于弦cd，交点为e，f为dc延长线上一点，连结af交⊙o于m.求证：∠amd =∠fmc(提示：连结bm)
2.如图，△abc内接于⊙o，d、e在bc边上，且bd = ce，∠1 =∠2，求证：ab = ac
提示如图）规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线。
例：已知，如图，在⊙o中，ab⊥cd，oe⊥bc于e，求证：oe =ad
证明：作直径cf，连结df、bf
cf为⊙o的直径。
cd⊥fd又∵cd⊥ab
ab∥dfad = bf
oe⊥bc o为圆心 co = fo
ce = be
oe =bf
oe =ad
规律99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形。
例：如图，△abc内接于⊙o，直线ad平分∠fac，交⊙o于e，交bc的延长线于d，求证：ab·ac = ad·ae
证明：连结be
四边形acbe为圆内接四边形。
∠acd =∠e
△abe∽△adc
ab·ac = ad·ae
规律100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦。
例：如图，⊙o1与⊙o2相交于a、b，过a的直线分别交⊙o1、⊙o2于c、d，过b的直线分别交⊙o1、⊙o2于e、f.求证：ce∥df
证明：连结ab
四边形为圆内接四边形。
∠abf =∠c
同理可证：∠abe =∠d
∠abf ＋∠abe = 180o
∠c＋∠d = 180o
ce∥df规律101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。
如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
例1：如图，p为⊙o外一点，以op为直径作圆交⊙o于a、b两点，连结pa、pb.
求证：pa、pb为⊙o的切线。
证明：连结oa
po为直径。
∠pao = 90o
oa⊥paoa为⊙o的半径。
pa为⊙o的切线。
同理：pb也为⊙o的切线。
例2：如图，同心圆o，大圆的弦ab = cd，且ab是小圆的切线，切点为e，求证：cd是小圆的切线。
证明：连结oe，过o作of⊥cd于f
oe为半径，ab为小圆的切线。
oe⊥abof⊥cd, ab = cd
of = oe
cd为小圆的切线。
练习：如图，等腰△abc，以腰ab为直径作⊙o交底边bc于p，pe⊥ac于e,求证：pe是⊙o的切线。
规律102.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题。
例：如图，在rt△abc中，∠c = 90o，ac = 12，bc = 9，d是ab上一点，以bd为直径的⊙o切ac于e，求ad长。
解：连结oe，则oe⊥ac
bc⊥acoe∥bc
在rt△abc中，ab =
oe = ob =
bd = 2ob =
ad = ab－db = 15－=
答：ad的长为。
练习：如图，⊙o的半径oa⊥ob，点p在ob的延长线上，连结ap交⊙o于d，过d作⊙o的切线ce交op于c，求证：pc = cd
1．圆中作辅助线的常用方法：
1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆o中，bd⊥oa于d，经常是：①如图1（上）延长bd交圆于c，利用垂径定理。
如图1（下）延长ao交圆于e，连结be，ba，得rt△abe。
图1（上图1（下）
6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
例题1：如图2，在圆o中，b为的中点，bd为ab的延长线，∠oab=500，求∠cbd的度数。
解：如图，连结ob、oc的圆o的半径，已知∠oab=500
b是弧ac的中点。
弧ab=弧bc
ab==bc
又∵oa=ob=oc
△aob≌△boc（图2
∠obc=∠abo=500
∠abo+∠obc+∠cbd=1800
∠cbd=1800 - 500- 500
∠cbd=800
答：∠cbd的度数是800.
例题2:如图3,在圆o中，弦ab、cd相交于点p，求证：∠apd的度数=（弧ad+弧bc）的度数。
证明：连接ac，则∠dpa=∠c+∠a
∠c的度数=弧ad的度数。
a的度数=弧bc的度数。
∠apd=（弧ad+弧bc）的度数图3
一、造直角三角形法。
1.构成rt△,常连接半径。
例1. 过⊙o内一点m ,最长弦ab = 26cm,最短弦cd = 10cm ,求am长；
2.遇有直径，常作直径上的圆周角。
例2. ab是⊙o的直径，ac切⊙o于a,cb交⊙o于d,过d作⊙o的切线，交ac于e.
求证：ce = ae;
3.遇有切线，常作过切点的半径。
例3 .割线ab交⊙o于c、d,且ac=bd,ae切⊙o于e,bf切⊙o于f.
求证：∠oae = obf;
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