第二章正弦交流电

第二章交流电路。

在电力系统中，考虑到传输、分配和应用电能方面的便利性、经济性，大都采用交流电。工程上应用的交流电，一般是随时间按正弦规律变化的，称为正弦交流电，简称交流电。正弦交流电路是指含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。

第一节正弦交流电的基本概念。

一、正弦量的三要素。

图2-1画出了正弦量(以电流为例)的一般变化曲线。电流随时间的变化关系可用正弦函数表达，即。

式(2-1)称为正弦量的解析式。式中为正弦交流电的瞬时值，为正弦交变电流的最大值，称为正弦量角频率，称为初相位，t为时间。由式(2-1)可知，对于一个正弦电流，如果为、、已知，则它与时间t的关系就是惟一确定的。

因此最大值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。

图2-1 正弦交流电的三要素。

最大值式(2-1)中，为电流的最大值，也称幅值。正弦量的最大值用带下标m的大写英文字母表示，如、、分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动势的最大值。

②角频率式(2-1)中的在数值上等于单位时间内正弦函数幅角的增长值，称为角频率，它的单位为rad／s(弧度每秒)。交流电循环变化一周的时间称为周期，用t表示。周期的单位是s(秒)。

1s内含有的周期数称为频率，用表示。频率的单位是hz(赫兹，简称赫)。由定义可知，频率与周期互为倒数，即。

由于在一个周期t秒内幅角增长2弧度，故。

频率、周期、角频率三个量都是说明正弦交流电变化快慢的。三个量中只要知道一个，其他两个量即可求出。例如中国工业和照明用电的频率为50hz(称为工频)，其周期为，角频率＝2×3.

14×50＝314rad／s。

相位角与初相角式(2-1)中，是正弦交流电随时间变化的(电)角度。称为该正弦交流电的相位角，简称相位，单位是rad(弧度)，为了方便也可用度来表示。在t＝0时的相位称为初相位，简称初相。

式(2-1)中的就是该正弦交流电的初相，其值与计时起点有关。

例2-1 某正弦电压的最大值＝310v，初相；某正弦电流的最大值＝14.1a，初相。它们的频率均为50hz。试分别写出电压和电流的瞬时值表达式。并画出它们的波形。

解电压的瞬时值表达式为。

电流的瞬时值表达式为。

电压和电流波形如图2-2所示。

图2-2 例2-1图图2-3 例2-2图。

例2-2 若正弦电流、电压波形如图2-3所示，试写出它们的解析式。

解按照波形图，正弦电流解析式为。

正弦电压的解析式为。

v二、相位差。

两个同频率正弦量初相位之差称为它们之间的相位差，用表示。相位差的取值范围通常是：。它反映了这两个正弦量“步调”上的关系。例2-1中电压与电流的相位差为。

其数值为。即两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相差。

若，表示，表明的相位超前于，或的相位滞后于。

若，表示，表明的相位滞后于，或的相位超前于。

若，即，这种情况称为与同相位，简称同相。

若这表明与在相位上相差角，这种情况称为与反相。

例2-3 已知电动势v，频率＝50hz， a。试求与之间的相位差。

解相位差即电动势比电流超前。

三、正弦交流电的有效值。

有效值就是从热效应来定义交流量大小的一个物理量。规定：如果一个交流电流，流过一个电阻，在一周期时间内产生的热量和某一直流电流流过同一电阻在相同时间内所产生的热量相同，那么这个直流电流的量值就称为交流电流的有效值。

即交流电流的有效值就是热效应与它等同的直流值。交流电的有效值用大写英文字母i、u、e表示。

正弦量的有效值等于它最大值的。

正弦电压、正弦电动势的有效值为。

第二节正弦交流电的相量表示法。

一个正弦量可以由振幅、角频率、初相位这三个要素来确定，正弦量可以用不同的方式来表示，只要把三个要素表示清楚即可，正弦量的表示方法是分析正弦交流电路的工具。

前面已经用过两种方法表示正弦量，即三角函数式及其波形图表示，都很直观，但不便于计算。为了电路分析和计算的方便，经常采用相量表示法，即用复数式与相量图来表示正弦量。

一、复数。设复平面内有一复数a，其模为r，辐角为，如图2-4所示。一个复数可以用下列不同的式子表示。

图2-4 复数。

代数式)极坐标式)

为虚单位。以上两种不同的表示方式可以互相转换，其中r=，，a= r cos，b= r sin。

由上述可知，一个复数由模和辐角两个特征量来确定。复数做乘、除运算时，用极坐标式方便。乘运算，模相乘，辐角相加；除运算，模相除，辐角相减。

做加减运算时，用代数式比较方便。实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

二、正弦量的相量表示。

求解一个正弦量必须先求得它的三要素，但在分析正弦交流电路时，同一电路中所有的电压、电流都是同频率的正弦量，而且它们的频率与正弦电源的频率相同，往往是已知的，可不必考虑，因此，一个正弦量由幅值(或有效值)及初相位两个要素就可以确定了。

比照复数和正弦量，一个复数和一个正弦量可以一一对应，即正弦量可以用复数表示。复数的模为正弦量的幅值(或有效值)，辐角为正弦量的初相角。表示正弦量的复数称为相量。

如正弦量。其相量形式为最大值相量，模为最大值)

或有效值相量，模为有效值)

注意：正弦量和相量并不相等，只是一一对应，可以互相表示。在运算过程中，相量与一般复数没有区别。

三、相量图。

设正弦量，其相量为，在复平面上可以用长度为最大值(或有效值，与实轴正向夹角为的矢量表示，如图2-5所示。这种表示相量的图称为相量图。有时为简便起见，实轴和虚轴可省去不画。

图2-5 相量图。

同频率的正弦量可以画在一个相量图中，在相量图上，能形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。

例2-4 已知a， v，试画出电流、电压的相量图。

图2-6 例2-4图。

解电流、电压的相量图如图2-6所示。图中、为电流、电压的相量。从相量图中可以看出，电压超前电流角。

例2-5 已知a， a，试求总电流。

解画出电流、的相量图，如图2-7所示，用平行四边形法则求得总电流的相量，如图2-7所示。

图2-7 例2-5图。

根据相量图中的几何关系，可求出电流的有效值和初相角为。tan则。

以上计算可以看出，利用相量图计算正弦量，避开了三角函数的运算，使计算量大为简化。

第三节单一参数的交流电路。

分析各种交流电路时，必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)元件电路中电压与。

电流之间的关系，因为其他电路无非是一些单一参数元件的组合而已。

一、纯电阻元件的交流电路。

一）电压电流关系。

图2-8 电阻电路。

纯电阻电路如图2-8（a）所示，设，根据欧姆定律。

由此可知，通过电阻中的电流与它的端电压是同频同相位的两个正弦量。于是可得出它们的波形图及相量图，如图2-8（b）和(c)所示。

由式(2-6)可知，＝，两边同除，得到电压、电流有效值之间的关系。

或。这说明电阻电路中电压有效值与电流有效值间的关系也符合欧姆定律。

用相量来分析。由于外加电压

电压的相量为。

电流为故电流的相量为。

或 (2-7)

式(2-7)是电阻电路中欧姆定律的相量形式。它既表达了电压与电流有效值之间的关系为，又表明电压与电流同相位。

二) 功率计算。

1)瞬时功率

电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率，用表示。它等于电压与电流瞬时值的乘积。即。

包含两项：一项是常量ui，另一项是正弦函数。因此，瞬时功率p的变化曲线可以由图2-8(d)看出，瞬时功率始终为正值，而电流、电压的参考方向一致，说明电阻元件总是从电源吸收电能，并转换成热能，电阻是耗能元件。

瞬时功率的实用意义不大。

2)平均功率p(有功功率)

瞬时功率在一周期的平均值，称平均功率或有功功率，或简称功率，用大写英文字母p表示。即。

结论：纯电阻电路消耗的平均功率(有功功率)等于电压和电流的有效值的乘积。有功功率的单位也是w(瓦)或kw(千瓦)。

例2-6 电路中只有电阻r＝2，正弦电压v, 试求①试写出通过电阻的电流相量及瞬时值表达式；②电阻消耗的功率。

解 ①电压相量为。

电流相量为 =

电流瞬时值表达式为。

a电阻消耗的功率。

=25w二、纯电感元件的交流电路。

一）电压电流关系。

图2-9(a)所示为纯电感电路。根据kvl，在电路中。

电感元件中的自感电动势2-10)

图2-9 电感电路。

式中是电流变化率；l是线圈的自感系数，单位是h(亨利)。将式(2-10)代人式(2-9)中得。

将代人式(2-11)，得。

l=lsint)= lcost=sin(t2-12)

由式(2-12)可知。

第二章正弦交流电

第二章正弦交流电路

正弦交流电二

试卷二《正弦交流电》

正弦交流电教案

第4章正弦交流电路课后习题

电工基础复习4 正弦交流电

正弦交流电的基本概念

三相正弦交流电路

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