单位圆是以原点为圆心，半径等于单位长度的圆。其方程为x2+y2=1，根据它的结构特征，联想到同角三角函数式cos2x+sin2x=1，由上面的结构可发现点（x，y），是单位圆上的点，因而单位圆沟通了三角，解析几何，代数等有关知识的联系。对于具备单位圆的思想进行分析解决。
本文通过几个实例体会一下单位圆的妙用。
例1：已知角αβγ满足条件sinα+sinβ+sinγ=2。试证明∣cosαγ+cos β+cosγ∣≤5。
证明：点a(cosα,sinα),b(cosβ,sinβ),c(cosγ,sinγ)都在单位圆上。
x2+y2=1。
abc的重心坐标g((cosα+cosβ+cosγ)/3,(sinα+sinβ+sinγ)/3))。
令cosαγ+cosβ+cosγ=x ，则g的坐标变为(x/3,2/3) 。无论△abc 怎样变化，它的重心g都在单位圆内，而且在直线 y=2/3上。特别地，当a，b，c三点重合时，点g在单位圆上。
因此，2/3≤∣og∣≤1。由此得：2/3≤√(x/3)2+(2/3) 2，即0≤x2≤5,∴∣x∣≤5。
所以∣cosαγ+cosβ+cosγ∣≤5成立。
在这一证明中，所用的知识都是过去学习过的，只是对知识作出了重新组合：利用几何知识及解析几何知识，把三角不等式问题转化成了距离问题，避免了复杂的三角变换。
例2、设m∈r，a=,b
a∩b= ，求。
1）m的取值范围；（2）θ1+θ2的值。
解：把点（cosθ
1，sinθ
1，（cosθ
sinθ
看作圆上除去点（1，0），圆心。
到直线√3x+y-m=0的距离d=∣m∣/2＜1,m≠√3
m=∈(2, √3)∪(3,2)
如果把点a（cosθ1，sinθ1）、b（cosθ2，sinθ2）看作直线y= -3x+m上的两点，又看作在单位圆上，过o作om⊥ab于m。
则∠mox=(θ1+θ2)/2，k om?k ab = 1，而 k om =√3/3=tanθ1+θ2)/2，又将推得结论（2）
如果由方程组。
x2+y2=1(x≠1)
y= -3x+m
有相异两实根，可求得结论（1）。
例3、利用向量求证cos(α-cosα·cosβ+sinα·sinβ
分析：（1）、建立直角坐标系，利用数形结合方法把三角函数内容转化为直角坐标系中的向量计算问题；
2）、利用单位圆的特殊性质，巧妙地简化解题的步骤证明步骤略。
例4、已知a2+b2=1, x2+y2=1求证：ax+b y≤1
分析1 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
证法1 ∵a2+b2=1, x2+y2=1∴可设。
a=sinα,b=cosαx=sinβ,y= cosβ
ax+b y= sinαsinβ+cosαcosβ≤1
分析2 数形结合法：由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=(ax+by)/√a2+b2)联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法2因为直线l：ax+by=0经过。
圆x2+y2=1的圆心o，所以圆上任意一点m(x,y)
到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1，即d=︱ax+by︱/√a2+b2)= ax+by︱≤1∴ax+by≤1
巧用单位圆解题是十分简便的，它不仅能巩固基础知识，还便于理解三角函数的几何意义，直观地理解函数的性质，提高数学解题能力。
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