1．如图，正方形abcd和正方形a′ob′c′是全等图形，则当正方形a′ob′c′绕正方形abcd的中心o顺时针旋转的过程中．
（1）四边形oecf的面积如何变化．（2）若正方形abcd的面积是4，求四边形oecf的面积．
解：在梯形abcd中由题设易得到：
△abd是等腰三角形，且∠abd=∠cbd=∠adb=30°．
过点d作de⊥bc，则de=bd=2，be=6．
过点a作af⊥bd于f，则ab=ad=4．
故s梯形abcd=12+4．
2．如图， abcd中，o是对角线ac的中点，ef⊥ac交cd于e，交ab于f，问四边形afce是菱形吗？请说明理由．
解：四边形afce是菱形．
∵四边形abcd是平行四边形．
∴oa=oc，ce∥af．
∴∠eco=∠fao，∠afo=∠ceo．
∴△eoc≌△foa，∴ce=af．
而ce∥af，∴四边形afce是平行四边形．
又∵ef是垂直平分线，∴ae=ce．
∴四边形afce是菱形．
3．如图，在△abc中，∠b=∠c，d是bc的中点，de⊥ab，df⊥ac，垂足分别为e、f．求证：（1）△bde≌cdf．（2）△abc是直角三角形时，四边形aedf是正方形．
19．证明：（1）
bde≌△cdf．
2）由∠a=90°，de⊥ab，df⊥ac知：
矩形aedf是正方形．
4．如图， abcd中，e、f为对角线ac上两点，且ae=cf，问：四边形ebfd是平行四边形吗？为什么？
解：四边形ebfd是平行四边形．在abcd中，连结bd交ac于点o，则ob=od，oa=oc．又∵ae=cf，∴oe=of．
∴四边形ebfd是平行四边形．
5．如图，矩形纸片abcd中，ab＝3 cm，bc＝4 cm．现将a，c重合，使纸片。
折叠压平，设折痕为ef，试求af的长和重叠部分△aef的面积．
提示】把af取作△aef的底，af边上的高等于ab＝3．
由折叠过程知，ef经过矩形的对称中心，fd＝be，ae＝ce＝af．由此可以在。
abe中使用勾股定理求ae，即求得af的长．
答案】如图，连结ac，交ef于点o，由折叠过程可知，oa＝oc， o点为矩形的对称中心．e、f关于o点对称，b、d也关于o点对称．
be＝fd，ec＝af，由ec折叠后与ea重合， ec＝ea．
设af＝x，则be＝fd＝ad－af＝4－x，ae＝af＝x．
在rt△abe中，由勾股定理，得。
ab2＋be2＝ae2，即 32＋(4－x) 2＝x2．
解得 x＝．
s△aef＝×3×＝（cm2）
故af的长为cm，△aef的面积为cm2．
6．如图，e是矩形abcd的边ad上一点，且be＝ed，p是对角线bd上任意一点，pf⊥be，pg⊥ad，垂足分别为f、g．求证：pf＋pg＝ab．
提示】延长gp交bc于h，只要证ph＝pf即可，所以只要证∠pbf＝∠pbh．
答案】∵ be＝de， ∠ebd＝∠edb．
在矩形abcd中，ad∥bc， ∠dbc＝∠adb， ∠ebd＝∠cbd．
延长gp交bc于h点．
pg⊥ad， ph⊥bc．
pf⊥be，p是∠ebc的平分线上．
pf＝ph．
四边形abhg中，a＝∠abh＝∠bhg＝∠hga＝90°．
四边形abhg为矩形， ab＝gh＝gp＋ph＝gp＋pf
故 pf＋pg＝ab．
7．已知：如图，以正方形abcd的对角线为边作菱形aefc，b在fe的延长线上．
求证：ae、af把∠bac三等分．
提示】证出∠cae＝30°即可．
答案】连结bd，交ac于点o，作eg⊥ac，垂足为g点．
四边形aefc为菱形， ef∥ac．
ge＝ob．
四边形abcd为正方形， ob⊥ac， obge， ae＝ac，ob＝bd＝ac， eg＝ae， ∠eag＝30°．
∠bae＝15°．
在菱形aefc中，af平分∠eac， ∠eaf＝∠fac＝∠eac＝15°
∠eab＝∠fae＝∠fac．
即ae、af将∠bac三等分．
8．如图，已知m、n两点在正方形abcd的对角线bd上移动，∠mcn为定角 ，连结am、an，并延长分别交bc、cd于e、f两点，则∠cme与∠cnf在m、
n两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．
提示】bd为正方形abcd的对称轴， ∠1＝∠3，∠2＝∠4，用∠1和∠2表示∠mcn以及∠emc＋∠fnc．
答案】∵ bd为正方形abcd的对称轴， ∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∠emc＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．
同理 ∠fnc＝180°－2∠2．
∠emc＋∠fnc＝360°－2（∠1＋∠2）．
∠mcn＝180°－（1＋∠2）， emc＋∠fnc总与2∠mcn相等．
因此∠emc＋∠fnc始终为定角，这定角为∠mcn的2倍．
9．如图（1），ab、cd是两条线段，m是ab的中点，s△dmc、s△dac和s△dbc分别。
表示△dmc、△dac、△dbc的面积．当ab∥cd时，有。
s△dmc1）如图（2），若图（1）中ab∥cd时，①式是否成立？请说明理由．
2）如图（3），若图（1）中ab与cd相交于点o时，s△dmc与s△dac和s△dbc有何种相等关系？证明你的结论．
图（1图（2图（3）
提示】△dac，△dmc 和△dbc 同底cd，通过它们在cd 边上的高的关系，来确定它们面积的关系．
答案】（1）当ab∥cd时，①式仍成立．
分别过a、m、b作cd的垂线，ae、mn、bf的垂足分别为e、n、f．
m为ab的中点， mn＝（ae＋bf）．
s△dac＋s△dbc＝dc·ae＋dc·bf＝dc·（ae＋bf）＝2 s△dmc．
s△dmc＝
2）对于图（3）有s△dmc＝．
证法一：∵ m是ab的中点，s△adm＝s△bdm，s△acm＝s△bcm，s△dbc＝s△bdm＋s△bcm＋s△dmc
s△dac＝s△adm＋s△acm－s△dmc
－②得：s△dbc－s△dac＝2 s△dmc
s△dmc＝．
证法二：如右图，过a作cd的平行线l，mn⊥l，垂足为n，be⊥l，垂足为e．设a、m、b到cd的距离分别h1、h0、h2．则mn＝h1＋h0，be＝h2＋h1．
am＝bm， be＝2 mn．
h2＋h1＝2（h1＋h0）， h0＝．
s△dmc＝．
10．已知：如图，△abc中，点o是ac上边上一个动点，过点o作直线mn∥bc，mn交∠bca的平分线于点e，交∠bca的外角平分线于点f．
1）求证eo＝fo．
2）当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？证明你的结论．
提示】（1）证明oe＝oc＝of；
2）o点的位置首先满足四边形aecf是平行四边形，然后证明它此时也是矩形．
答案】（1）∵ ce平分∠bca， ∠bce＝∠eco．
又 mn∥bc， ∠bce＝∠ceo．
∠eco＝∠ceo．
oe＝oc．
同理 oc＝of．
oe＝of．
2）当点o运动到ac边的中点时，四边形aecf是矩形，证明如下：
oe＝of，又o是ac的中点，即 oa＝oc， 四边形aecf是平行四边形．
ce、cf分别平分∠bca、∠acd，且∠bca＋∠acd＝180°， ecf＝∠eco＋∠ocf＝（∠bca＋∠acd）＝90°．
□aecf是矩形．
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