标准偏差。
出自 mba智库百科(
相对标准方差的计算公式。
准确度：测定值与真实值符合的程度。
绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。
相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.
1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.
1mm。
例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？
答：称量样品量应不小于0.2g。
真值（μ）真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。
偏差：单次测量值与样本平均值之差：
平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。
标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。
相对标准偏差（变异系数）
例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.
45，37.20，37.50，37.
30，37.25（%）计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。
准确度与精密度的关系：
1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。
2）精密度高不能保证准确度高。
换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。
重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(rsd)，一般要求低于5%
数学表达式：
s-标准偏差（%）
n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个
i-物料中某成分的各次测量值，1～n；
标准偏差的使用方法。
六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式。
设对真值为x的某量进行一组等精度测量， 其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值x之差为真差占σ, 则有 σ1 = li x
σ2 = l2 x
σn = ln x
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
由于真值x都是不可知的， 因此真差σ占也就无法求得， 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式。
由于真值是不可知的， 在实际应用中， 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明， 随着测量次数的增多， 算术平均值最接近真值， 当时， 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）vi来代替真差σ ,即
设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 则
通过数学推导可得真差σ与剩余误差v的关系为
将上式代入式(1)有
式(2)就是著名的贝塞尔公式(bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出， 在n有限时， 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此， 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点， 我们将σ的估计值用“s ” 表示。于是， 将式(2)改写为
在求s时， 为免去求算术平均值的麻烦， 经数学推导(过程从略)有
于是， 式(2')可写为
按式(2")求s时， 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计。
数理统计中定义s2为样本方差
数学上已经证明s2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中， s2围绕σ2散布， 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时，s并不是总体标准偏差σ的无偏估计， 也就是说s和σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们， 对于服从正态分布的正态总体， 总体标准偏差σ的无偏估计值为
令 则即s1和s仅相差一个系数kσ,kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数， kσ值见表。
计算kσ时用到
γ(n + 1) =nγ(n)
由表1知， 当n>30时， 。因此， 当n>30时， 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30～50时， 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n<10时， 由于kσ值的影响已不可忽略， 宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。
标准偏差的最大似然估计。
将σ的定义式(1)中的真值x用算术平均值代替且当n有限时就得到
式(4)适用于n>50时的情况， 当n>50时，n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大， 不宜现场采用， 而极差估计的方法则有运算简便， 计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"r"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布， 则
r = lmax lmin
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为
s3称为标准偏差σ的无偏极差估计， d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数， 其值见表2
由表2知， 当n≤15时， 因此， 标准偏差σ更粗略的估计值为
还可以看出， 当200≤n≤1000时，因而又有
显然， 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计， 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出，式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低， 但当5≤n≤15时，式(5)不仅大大提高了计算速度， 而且还颇为准确。当n>10时， 由于舍去数据信息较多， 因此误差较大， 为了提高准确度， 这时应将测得值分成四个或五个一组， 先求出各组的极差r1、, 再由各组极差求出极差平均值。
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出， 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数n(=nk)去查表2。再则， 分组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。
标准偏差σ的平均误差估计。
平均误差的定义为
误差理论给出
(a) 可以证明与的关系为
(证明从略)
于是 (b)
由式(a)和式(b)得
从而有 式(6)就是佩特斯(公式。用该公式估计δ值， 由于ight|vight|不需平方，故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差的应用实例[1]
对标称值ra = 0.160 < math > m < math > 的一块粗糙度样块进行检定， 顺次测得以下15个数据：1.
45,1.65,1.60,1.
67,1.52,1.46,1.
72,1.69,1.77,1.
64,4.56,1.50,1.
64,1.74和1.63μm, 试求该样块rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。
解：1)先求平均值
2)再求标准偏差s
若用无偏极差估计公式式(5)计算， 首先将测得的， 15个数据按原顺序分为三组， 每组五个， 见表3。
表3 因每组为5个数据， 按n=5由表2查得
故 若按常用估计即贝塞尔公式式(2') 则
若按无偏估计公式即式(3')计算， 因n=15，由表1查得kδ =1.018, 则
若按最大似然估计公式即式(4')计算， 则
= 0.09296(
若按平均误差估计公式即式(6), 则
现在用式(5')对以上计算进行校核
可见以上算得的s、s1、s2、s3和s4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062
即 s2 < s < s1 < s4 < s3
可见， 最大似然估计值最小， 常用估计值s稍大， 无偏估计值s1又大， 平均误差估计值s4再大， 极差估计值s3最大。纵观这几个值， 它们相当接近， 最大差值仅为0.01324μm。
从理论上讲， 用无偏估计值和常用估计比较合适， 在本例中， 它们仅相差0.0017μm。可以相信， 随着的增大， s、s1、s2、s3和s4之间的差别会越来越小。
就本例而言， 无偏极差估计值s3和无偏估计值s1仅相差0.0083μm, 这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
jjg102-89《表面粗糙度比较样块》规定ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%～17%, 标准偏差应在标称值的4%～12%之间。已得本样块二产，产均在规定范围之内， 故该样块合格。
回访标准与流程
一 回访说明。回访次数 每个学员2次 月。新生入学后，pc课之前回访由ec承担。见ec回访规定 1.回访方式 a.回访 b.正式面谈。面谈 无论主动 被动面谈，必须是老师在确认面谈需求后，有准备的一对一的交流。2.回访内容 a 主动与学员家长沟通孩子在学校的学习情况，了解其在校学习的兴趣度等。b 如...
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