第十讲导数。
考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
例题解析】考点1 导数的概念。
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
例1．是的导函数，则的值是 ．
考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力。
解答过程]
故填3.例2.设函数，集合m=,p=,若mp,则实数a的取值范围是。
a.(-1) b.(0,1) c.(1,+∞d. [1,+∞
考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力。
解答过程]由。
综上可得mp时，
考点2 曲线的切线。
1）关于曲线在某一点的切线。
求曲线y=f(x)在某一点p（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在p点的导数就是曲线在该点的切线的斜率。
2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线。
典型例题。例3.已知函数在区间，内各有一个极值点．
i）求的最大值；
ii）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率。
解答过程：（i）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
ii）解法一：由知在点处的切线的方程是。
即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则。
不是的极值点．
而，且。若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得。
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则。当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．
例4.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
ab． cd．
考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力。
解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为。
故选a.例5．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 (
或y=x b. y=-3x或y=-x 或y=-x d. y=3x或y=x
考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力。
解答过程]解法1：设切线的方程为。
又。故选a.
解法2:由解法1知切点坐标为由。
故选a.例6.已知两抛物线，取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程。
思路启迪：先对求导数。
解答过程：函数的导数为，曲线在点p()处的切线方程为，即 ①
曲线在点q的切线方程是即。
若直线是过点p点和q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得。
消去得方程，
若△=，即时，解得，此时点p、q重合。
当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为。
考点3 导数的应用。
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法。复习时，应高度重视以下问题：
1.. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域； 3.解决单调性问题； 4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式。
典型例题。例7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
a．1个 b．2个
c．3个。d． 4个。
考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力。
解答过程]由图象可见，在区间内的图象上有一个极小值点。
故选a.例8 .设函数在及时取得极值．
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．
解答过程：（ⅰ因为函数在及取得极值，则有，．
即。解得，．
ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，；
当时，；当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得或，因此的取值范围为．
例9.函数的值域是。
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数的定义域为。，又，当时，函数在上是增函数，而，的值域是。
例10．已知函数，其中为参数，且．
1）当时，判断函数是否有极值；
2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法。
解答过程]（ⅰ当时，，则在内是增函数，故无极值。
ⅱ），令，得。
由（ⅰ）只需分下面两种情况讨论。
当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
因此，函数在处取得极小值，且。
要使，必有，可得。
由于，故。当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
因此，函数处取得极小值，且。
若，则。矛盾。所以当时，的极小值不会大于零。
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为。
）解：由（）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组。
或。由（），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即。
综上，解得或。
所以的取值范围是。
例11．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。
考查目的]本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力。
解答过程]由已知得函数的定义域为，且。
1）当时，函数在上单调递减，2）当时，由解得。
随的变化情况如下表。
从上表可知。
当时，函数在上单调递减。
当时，函数在上单调递增。
综上所述：当时，函数在上单调递减。
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增。
例12．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示。求：
ⅰ）的值；ⅱ）的值。
考查目的]本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值， 函数与方程的转化等基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力。
解答过程]解法一：（ⅰ由图像可知，在上，在上，在上，故在上递增，在上递减，因此在处取得极大值，所以。
由。得。
解得。解法二：（ⅰ同解法一。
ⅱ）设。又。
所以。由即得。
所以。例13．设是函数的一个极值点。
ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围。
考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。
解答过程]（ⅰf `(x)＝－x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则。
在区间（－∞3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当a>－4时，x2<3＝x1，则。
在区间（－∞a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
ⅱ）由（ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )f (3)]，而f (0)＝－2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，由于（a2＋）－a＋6）＝a2－a＋＝（2≥0，所以只须仅须。
a2＋）－a＋6）<1且a>0，解得0故a的取值范围是（0，）.
例14 已知函数。
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
1）证明；2）若z=a+2b,求z的取值范围。
解答过程]求函数的导数．
ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以。当时，为增函数，，由，得．
ⅱ）在题设下，等价于即．
化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
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