5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图。
解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；
2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3t与2t作用面之间的轴段上表面各点；
2）应力状态见下图。
c) 1) 危险点： a点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；
2）应力状态见下图。
d) 1）危险点：杆件表面上各点；
2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为mpa）。
题5-2图。
解： a) =50 mpa, =0,属于单向应力状态。
b) =40 mpa, =0, =30 mpa，属于二向应力状态。
c) =20 mpa, =10 mpa, =30 mpa，属于三向应力状态。
5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为mpa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图。
解：a) 取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：
=50mpa , 30mpa , 0, α30
带入式（5-3），（5-4）得。
45mpa -8.66mpa
b) 取水平轴为x轴，根据正负号规定：
-40mpa , 0 , 20 mpa , 120
带入公式，得：
7.32mpa
=7.32mpa
c) 取水平轴为x轴，则。
-10mpa , 40mpa , 30mpa,α=30
代入公式得：
28.48mpa
=-36.65mpa
5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为mpa）。试用解析法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。
题5-4图。
a) 解：（1）求指定斜截面的上应力。
取水平轴为x轴，则 =100mpa , 40mpa , 40mpa,α=45
带入公式，得：
=30 mpa
= 30mpa
(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
mpa按代数值得。
mpa， mpa， mpa
由公式（5-7）可求得主应力方向。
最大主应力的方向与x轴正向夹角为顺时针。
3）最大切应力。
由公式（5-20） mpa
b）解： （1） 求指定斜截面上的应力。
取水平轴为x轴， =60mpa , 20mpa , 30mpa,α=30
代入公式得：
14.02mpa
= -49.64mpa
2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
mpa按代数值得。
mpa， mpa， mpa
由公式（5-7）可求得主应力方向。
最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针。
如图所示：3）最大切应力。
由公式（5-20） mpa
c)解：取水平轴为x轴，则。
60mpa , 0 , 40mpa,α=150
代入公式得：
79.64mpa
=5.98mpa
2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
mpa按代数值得。
mpa， mpa， mpa
由公式（5-7）可求得主应力方向。
最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针。
如图所示：3）最大切应力。
由公式（5-20）
5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为mpa）。试用**法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。
题5-5图。
解：(1)求指定斜截面上的应力。
由图示应力状态可知=40mpa , 20mpa , 10mpa, =10mpa
由此可确定-面内的d、d’两点，连接d、d’交于c 。以c 为圆心，dd’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由d逆时针量取120得e点，按比例量的e点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：
60mpa， =3.7mpa
2）求主应力及其方程。
应力圆中a、b两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：
=44.14mpa， =15.86mpa
按照得约定，可得三个主应力为： =44.14mpa， =15.86mpa， =0mpa
由d转向a 的角度等于2。量得 2=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。
3）最大切应力等于由画出的应力圆的半径=22.07mpa
b)解：首先做应力圆：其中 d（0，-20） d（50，+20）
1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从d逆时针量2=90得e点：
5mpa， =25mpa
2) =57mpa， =7mpa
按照得=57mpa， =0mpa， =7mpa
主应力方向：最大主应力与y轴夹角为（顺）
3) 最大切应力等于由画出的应力圆的半径： mpa
c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点d（-20，20）和 d（30，-20）
连dd交轴于c, 以c为圆心，dd为直径作圆， 即为应力圆，如图所示。
1） 斜截面与x轴正方向夹角为 60 (顺), 因此由d顺时针量120得e点。
==34.82mpa， =11.65mpa
2） 主应力及其方位。
应力圆与轴的两个交点a,b的横坐标即为两个主应力：
==37mpa， =27mpa
因此=37mpa， =0mpa， =27mpa
由d到a的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。
3） 最大切应力为由画出的应力圆半径mpa
5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。
题5-6图。
解：1） 各点的单元体及应力。
由梁的静力平衡求得kn
a,b,c三点所在截面上的弯矩nm
剪力knpa=93.75mpa（压应力）
mpa（压应力）
mpampa
2） 作各单元体的应力圆。
a点： mpa， =46.875mpa
b点： mpa， mpa，， 27.3mpa
c点： 18.75mpa， 0， =18.75 mpa， =18.75mpa
5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为mpa）。
题5-7图。
解：a) 主应力mpa， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态，所以有， =50mpa。
b) 一个主应力为50mpa，其余两个方向应力状态如图所示。
30mpa， =20mpa， =20mpa
代入公式（5-8）
mpa所以=50mpa， =37mpa， =27mpa
=mpab) 一个主应力为-30mpa，其余两方向应力状态如图所示。
取 =120mpa， =40mpa， =30mpa
代入公式。mpa
所以=130mpa， =30mpa， =0mpa
=mpa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。
题5-8图。
解： a) 三个主应力为。
三向应力圆可作如下。
b) 这是一个纯剪切应力状态。
其三向应力圆为
三向应力状态：一个主应力为零。
先做一二向应力状态的应力圆，得再由和分别作应力圆。
三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态。
5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为mpa）。
题5-9图。
解： 画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则。
50mpa , 30时=80mpa, =0
代入式（5-3）（5-4）80mpa
70mpa , mpa
可做应力圆如图所示。
由应力圆可求的三个主应力分别为。
80mpa， =40mpa， =0mpa
最大切应力为=40mpa
5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，ab面上无应力作用。试求切应力τ和三个主应力。
题5-10图。
解：画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴。
则=15mpa , 15mpa , 135时=0, =0
代入式（5-3）（5-4）
0 (自然满足)
由上式解得=15mpa
主应力可由公式（5-8）求。
mpa因此三个主应力为 ： 0， =0， =30mpa
mpa5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为mpa）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上a点所在截面的位置。
def)题5-11图。
5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知：。试求主应力和最大切应力。
题5-12图。
解： 80mpa , 40mpa , 50mpa, α60
将以上已知数据代入公式（5-3）
再把，，代入公式（5-8）求主应力。
mpa因此三个主应力为 ： 80 mpa， =40 mpa， =30mpa
=40mpa
5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面α和β上的应力分别为；。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径r。
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