高中数学解题基本方法。
一、 配方法。
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当**，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…等等。
、再现性题组：
1. 在正项等比数列中，aa+2aa+aa=25，则 a＋a＝__
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是___
a. 1 c. k∈r d. k＝或k＝1
3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为___
a. 1b. －1c. 1或－1 d. 0
4. 函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是___
abcd. [3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点p(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝__
简解】 1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选b。
3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选c。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选d。
5小题：答案3－。
、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为___
a. 2bc. 5d. 6
分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则，而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。
长方体所求对角线长为：＝＝5
所以选b。注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+7成立，求实数k的取值范围。
解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,7， 解得k≤－或k≥。
又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴k－8≥0即k≥2或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－或者≤k≤。
注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“δ”已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋
分析】 对已知式可以联想：变形为()＋1＝0，则＝ω 为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
解】由a＋ab＋b=0变形得：()1＝0 ，设ω＝，则ω＋ω1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，1。
又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，所以2 。
注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为___
a. 8 b. c. d.最小值不存在。
2. α是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +1)的最小值是___
a. －b. 8 c. 18 d.不存在。
3. 已知x、y∈r，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有___
a.最大值2 b.最大值 c.最小值2 b.最小值。
4. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝__
a. 2 b. －6 c. －2或－6 d. 2或6
5. 化简：2＋的结果是___
a. 2sin4 b. 2sin4－4cos4 c. －2sin4 d. 4cos4－2sin4
6. 设f和f为双曲线－y＝1的两个焦点，点p在双曲线上且满足∠fpf＝90°，则△fpf的面积是。
7. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为。
8. 已知〈β 9. 设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c，给定m、n（m1 解不等式f(x)>0； 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m∈r，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),1 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域； 2 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 二、换元法。 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。 例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。 如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝s形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。 、再现性题组： 的最大值是。 2.设f(x＋1)＝log (4－x) （a>1），则f(x)的值域是。 3.已知数列中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是。 5.方程＝3的解是。 6.不等式log (2－1) ·log (2－2)〈2的解集是。 简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-t-1)＋4]，所以值域为(－∞log4]； 3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－； 4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1； 6小题：设log (2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2 数列放缩技巧。证明数列型不等式，因其思维跨度大 构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是 通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩 其... 第六篇函数解题方法和技巧。首先掌握求导公式。求导法则 为常数 复合函数求导。一 利用导数研究曲线的切线。考情聚焦 1 利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。2 常与函数的图象 性质及解析几何知识交汇命题，多以选择 填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。解题技... 2.跳步解答。解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途 如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继... 1.对数学概念的反思，学会数学的思考 对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界。而对于教师来说，还要从 教 的角度去看数学，不仅要能 做 还应当能够教会别人去 做 因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的 历史的 辨证关系的等方面去展开。2.对学数学的反思 当学生走进... 2009年高中数学反思。时间飞逝，转眼间，一学期即将过去，可以说是紧张忙碌而又收获多多。一学期以来，我热爱工作，严格要求学生，尊重学生使学生学有所得并不断提高，同时不断提升自己的教育教学水平。本学期我担任高一 2 5 两个班的数学教学，完成了必修第一册上下的教学任务。本学期的教学主要内容有 三角函数... 第四章 圆与方程。考点 掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线 圆的方程，判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。了解空间直角坐标系，会用坐标表示点的位置，并会应用两点间的距离公式。易错点 在判断直线与圆 圆与圆的位置关系上出现错误。在表示点的空间位置时写错坐标。难点 ...高中数学解题技巧 数列放缩
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