第二章函数知识点归纳。
总论：知识网络结构图。
一、函数的概念与图像。
设是一个非空的实数集，如果有一个对应规则，对每一个，都能对应唯一的一个实数，则这个对应规则称为定义在上的一个函数，记以，称为函数的自变量，为函数的因变量或函数值，称为函数的定义域，并把实数集称为函数的值域。
注意点：定义域对应规则所谓同一函数必须要定义域和对应规则完全一致。
1、求定义域的主要依据：
1）若函数为整式，则定义域为实数集r；
2）分式的分母不为零；
3）偶次方根的被开方数不小于零；
4）对数函数的真数必须大于零；
5）若函数由几个部分的数学式子构成的，定义域为使各个式子有意义的实数的集合的交集；
6）如果函数由解决实际问题列出，定义域为符合实际意义的实数集。
例1、下列各对函数中，相同的是（ ）
a、 b、
c、 d、f（x）=x，
例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合m到集合n的函数关系的有（ ）
a、 0个 b、 1个 c、 2个 d、3个。
例3、（05江苏卷）函数的定义域为。
2、求函数值域的主要方法：
1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
2）换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
3）利用对勾函数；
4）分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
5）单调性法：利用函数的单调性求值域；
6）几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数。
例1、； 例2、
例3、例4、；
例5、例6、
3、重要函数图像。
1）一次函数（正比例函数）图像及其性质：
2）反比函数图像及其性质：
3）二次函数图像及其性质：
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标。
二次函数与一元二次方程关系：
闭区间上二次函数的最值问题：
是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。
设，求在上的最大值与最小值。将配方，得顶点为、对称轴为。
当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：
最小值：对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论。
1）当时，的最小值是。
当时，2）若，由在上是增函数则的最小值是；
3）若，由在上是减函数则的最小值是。
最大值：对称轴与区间中点比较进行分类讨论。
1）当时，的最大值是；
2）当时，的最大值是；
当时，可类比得结论。
例1、设求函数的最小值的解析式。
例2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。
例3、已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。
二次方程根分布问题：
点拨：从三个方面进行分析：（1）（有不等实数根）；（2）对称轴；（3）端点的函数值。
例1、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。
例2、方程有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是。
例3、已知关于x的方程至少有一个根在区间(1, 2)内，求实数m的取值范围。
4）对勾函数图像：
二、函数的表示方法与表达形式。
1、函数表示的三大方法：列表法、解析法、图像法。
例1、购买某种笔支，所需花元，若每支笔需2元，试分别用解析法、列表法、图像法将表示成（）的函数，并指出函数的值域。
2、函数的表达形式：
1）一般表达形式：
2）分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。
例如 3）复合函数：设定义域， 定义域，值域。 如果，则是定义在上的一个复合函数。其中称为中间变量。
例2、已知，求。
例3、练习： 。
设，则的定义域为。
三、函数的简单性质。
1、函数表示法的“无关性”：
函数的表示法只与定义域和对应规则有关，而与用什么字母表示无关，即。
简称函数表示法的“无关性”。
例1、与是否为同一函数？
2、函数的单调性：
如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).
那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
注意点：设是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在m上是减。
函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在m上是增函数。
例1、证明函数的单调性。
例2、函数的单调增区间是___
例3、已知是上的减函数，那么的取值范围是 （
a） （bcd）
3、函数的奇偶性：
设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数；若对，都有，则称在上是偶函数。
重要性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称；
2）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
3）奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇。
判断函数奇偶性的主要方法：①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系。
例1、已知定义域为的函数是奇函数。
ⅰ）求的值；（ⅱ若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
例2、已知函数是定义在上的偶函数。 当时，，则当时。
习题：若奇函数满足，，则___
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