2011年高考数学冲刺复习资料（共分五大专题）
专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略。
命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点。根据2011年考纲预计在高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：
(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起。
考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．
2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=asin(ωx+φ)的简图，理解a，ω，的物理意义．
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
7．了解平面向量的基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．
考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换。而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。
主要考点如下：
1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题。
2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=asin(x+)的性质和图像及其图像变换。
3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等。
4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算。
5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题。
6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题。
典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合。
三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中**不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中。解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位。
这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标。
例1】 把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－3)平移后，得到函数y＝asin(ωx＋)(a＞0，ω＞0，||的图象，则和b的值依次为。
a．，－3 b．，3 c．，－3 d．－，3
分析】 根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得。还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择。
解析1】 由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y＋3＝sin2(x＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知＝，b＝－3，故选c.
解析2】 由向量＝(－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x＋)－3，由此知＝，b＝－3，故选c.
点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想。本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小。
题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合。
此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解。此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查。
例2】 已知a、b、c为三个锐角，且a＋b＋c＝π.若向量＝(2－2sina，cosa＋sina)与向量＝(cosa－sina，1＋sina)是共线向量。
ⅰ）求角a；
ⅱ）求函数y＝2sin2b＋cos的最大值。
分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得a角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(ⅰ)小题；而第(ⅱ)小题根据第(ⅰ)小题的结果及a、b、c三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角b的表达式，再根据b的范围求最值。
解】 （共线，∴(2－2sina)(1＋sina)＝(cosa＋sina)(cosa－sina)，则sin2a＝，又a为锐角，所以sina＝，则a＝.
ⅱ）y＝2sin2b＋cos＝2sin2b＋cos
2sin2b＋cos(－2b)＝1－cos2b＋cos2b＋sin2b
sin2b－cos2b＋1＝sin(2b－)＋1.
b∈(0，)，2b－∈(2b－＝，解得b＝，ymax＝2.
点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性。本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定b角的范围。
一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了。
题型三三角函数与平面向量垂直的综合。
此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解。此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等。
例3】 已知向量＝(3sinα,cosα)，2sinα，5sinα－4cosα)，2π)，且⊥．
ⅰ）求tanα的值；
ⅱ）求cos(＋)的值．
分析】 第(ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．
解0．而＝（3sinα，cosα），2sinα, 5sinα－4cosα)，故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－或tanα＝．
α∈（2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－
由tanα＝－求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，cos(＋)coscos－sinsin＝－×
点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数。同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性。同时还可以看到第（ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法。
题型四三角函数与平面向量的模的综合。
此类题型主要是利用向量模的性质||2＝2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解。
例3】 已知向量＝(cosα,sinα)，cosβ,sin求cos(α－的值；(ⅱ若－＜β0＜α＜且sinβ＝－求sinα的值。
分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(ⅰ)小题；而第(ⅱ)小题则可变角然后就须求sin(α－与cosβ即可。
解2－2·＋2＝，将向量＝(cosα,sinα)，cosβ,sinβ)代入上式得。
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－
ⅱ)∵0＜α＜0＜α－由cos(α－得sin(α－又sinβ＝－cosβ＝，sinα＝sinsin(α－cosβ＋cos(α－sinβ＝.
点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系。本题解答中要注意两点：
(1)化|－|为向量运算|－|2＝(－2；(2)注意解α－β的范围。整个解答过程体现方程的思想及转化的思想。
题型五三角函数与平面向量数量积的综合。
此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合。解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解。
例5】 设函数f(x)＝·其中向量＝(m，cosx)，＝1＋sinx，1)，x∈r，且f()＝2.（ⅰ求实数m的值；（ⅱ求函数f(x)的最小值。
分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（ⅰ）小题直接利用条件f()＝2可以求得，而第(ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解。
解：（ⅰf(x)＝·m(1＋sinx)＋cosx，由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.
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