专题4 几何证明。
知识要点】1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；
2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；
3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。
概念回顾】1.全等三角形的性质：对应边（ ）对应角（ ）对应高线（ ）对应中线（ ）对应角的角平分线（ ）
2.在rt△abc中，∠c=90°，∠a=30°，则bc：ac：ab
例题解析】题1】已知在δabc中，，ab＝ac，bd平分．求证：bc＝ab＋cd．
题2】如图，点ｅ为正方形ａｂｃ的边ｃｄ上一点，点ｆ为ｃｂ的延长线上的一点，且ｅａ⊥求证：ｄｅ
【题3】如图，ad为δabc的角平分线且bd＝cd．求证：ab＝ac.
【题4】已知：如图，点b、f、c、e在同一直线上，bf=ce，ab∥ed，ac∥fd，证明ab=de，ac=df.
【题5】已知：如图，△abc是正三角形，p是三角形内一点，pa＝3，pb＝4，pc＝5．
求：∠apb的度数．
【题6】如图：△abc中，∠acb=90°，ac=bc，ae是bc边上的中线，过c作cf⊥ae，垂足是f，过b作bd⊥bc交cf的延长线于d。
1） 求证：ae=cd;
2） 若ac=12㎝，求bd的长。
【题7】等边三角形cef于菱形abcd边长相等。
求证：（1）∠aef=∠afe
2)角b的度数。
【题8】如图，在△abc中，∠c=2∠b，ad是△abc的角平分线，∠1=∠b，求证：ab=ac+cd.
【题9】如图，在三角形abc中，ad是bc边上的中线，e是ad的中点，be的延长线交ac于点f.
求证：af=['altimg': w': 16', h': 43'}]fc
题10】如图，将边长为1的正方形abcd绕点c旋转到a'b'cd'的位置，若∠b'cb=30度，求ae的长。
题11】ad,be分别是等边△abc中bc,ac上的高。m,n分别在ad,be的延长线上，∠cbm=∠acn.求证am=bn.
题12】已知：如图，ad、bc相交于点o，oa=od，ob=oc，点e、f在ad上，且ae=df，∠abe＝∠dcf.
求证：be‖cf.
巩固练习】【练1】 如图，已知be垂直于ad，cf垂直于ad，且be=cf.
1）请你判断ad是三角形abc的中线还是角平分线？请证明你的结论。
2）链接bf,ce，若四边形bfce是菱形，则三角形abc中应添加一个什么条件？
【练2】在等腰直角三角形abc中，o是斜边ac的中点，p是斜边上的一个动点，且pb=pd，de垂直ac，垂足为e。
1）求证：pe=bo
2）设ac=3a，ap=x，四边形pbde的面积为y，求y与x之间的函数关系式。
【练3】已知：如图，在四边形abcd中，ad＝bc，m、n分别是ab、cd的中点，ad，bc的延长线叫mn与e、f
求证∠den=∠f.
【练4】如图，若c在直线ob上，试判断△cdm形状。
练5】已知△abc，ad是bc边上的中线，分别以ab边、ac边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：ef=2ad
1、 【练6】如图，等边三角形abc的边长为2，点p和点q分别是从a和c两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点p沿射线ab运动，q点沿点c在bc延长线上运动。设pq与直线ac相交于点d，作pe⊥ac于点e，当p和q运动时，线段de的长度是否改变？证明你的结论。
提示】题1】分析：在ｂｃ上截取ｂｅ＝连接ｄｅ．可得δbad≌δbed．由已知可得：，，cd＝ce，∴bc＝ab＋cd．
题2】分析：将δabf视为δade绕ａ顺时针旋转即可．
又abf≌δade
题3】分析：延长ａｄ到ｅ使得ａｄ＝易证δabd≌δecd．∴ｅ
题4】本题比较简单，难点在bf+cf=ce+cf这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。
证明：∵bf=ce
又∵bf+cf=bc
ce+cf=ef
∴bc=ef
∵ab∥de，ac∥fd
∴∠b=∠e，∠dfe=∠bca
又∵bf=ce
∴△def≌△abc（asa）
∴ab=de，ac=df
题5】顺时针旋转△abp 600 ，连接pq ，则△pbq是正三角形。
可得△pqc是直角三角形。
所以∠apb=1500 。
【题6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90°，再试其它角加这个公共角是否能等于90°，能说明它俩相等。
证明：（1）∵bd⊥bc，cf⊥ae
dbc=∠acb=∠efc=90°
d+∠bcd=90°
fec+∠bcd=90°
d=∠fec
又∵∠dbc=∠ace=90°，ac=bc
dbc≌△ace（hl）
ae=cd2）由（1）可知 △bdc≌△ace
bc=ac=12㎝，bd=ce
ae是bc边上的中线。
be=ec=['altimg': w': 22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}bc=6㎝
bd=cebd=6㎝
题7】解：∵cb=ce,cd=cf
∴∠b=∠ceb，∠d=∠cfd
∵∠b=∠d(菱形的对角相等）
∴∠ceb=∠cfd
∵∠cef=∠cfe=60°
∠ceb+∠cef+∠aef=180°
∠ced+∠cfe+∠afe=180°
∴∠aef=∠afe
(2)设∠b=x,则∠a=180°—x，∠ceb=x
∵∠aef=∠afe,∠a=∠aef+∠afe=180°
∴ (180°－x ) 2∠aef=180°
∴∠aef=x/2
∵∠ceb+∠cef+∠aef=180°
∴x+60°+x/2=180°
∴x=80°
∴∠b=80°
【题8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段，只能证ac、cd这两条线段与ab这条线段平分的两条线段ae、be相等，从而证明出来。
证明：∵∠aed是△edb的一个外角。
又∵∠1=∠b
aed=2∠b
aed=∠c=2∠b
ad是△abc的角平分线。
cad=∠dae
又∵∠aed=∠c，ad=da
acd≌△aed（aas）
ac=ae，cd=de
1=∠bde=be
cd=beab=ae+be
又∵ac=ae，cd=be
ab=ac+cd
题9】解析：作cf的中点g，连接dg，则fg=gc
又∵bd=dc
dg∥bfae∶ed=af∶fg
ae=edaf=fg
t': latex', orirawdata': frac', altimg': w': 16', h': 43'}]
即af=['altimg': w': 16', h': 43'}]fc
题10】提示：证明三角形abd和三角形caf全等。aebd四点共圆。四边形edcf是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
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